📚 Fiche de Révision : Électricité Appliquée (Régime Sinusoïdal, Transformateurs, Triphasé, Filtres Actifs, Régime Déformé)

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🔹 1. Régime Permanent Sinusoïdal Alternatif

❓ 1.1 Comment représenter les grandeurs sinusoïdales ?

• Expression instantanée :
  $u(t) = \hat{U} \sin(\omega t + \theta_u)$

  • 🔑 Paramètres :
    • $\hat{U}$ : Amplitude (valeur crête).
    • $\omega = 2\pi f$ : Pulsation (rad/s).
    • $\theta_u$ : Phase à l’origine (rad).

• Valeur efficace :
  $U = \frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}$ (valable uniquement en sinusoïdal).

• Déphasage entre $u(t)$ et $i(t)$ :
  $\varphi = \theta_v - \theta_u$

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❓ 1.2 Qu’est-ce que la représentation complexe et le vecteur de Fresnel ?

• Représentation complexe :

  • Relation d’Euler :
    $u(t) = \text{Im}\{ \hat{U} \cdot e^{j(\omega t+\theta_u)} \}$
  • Grandeur complexe associée :
    $\underline{U} = U e^{j\theta_u}$

• Vecteur de Fresnel :

  • Norme = valeur efficace $U$.
  • Orientation = phase à l’origine $\theta_u$.
  • Rotation : Terme $e^{j\omega t}$.

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❓ 1.3 Comment appliquer la loi d’Ohm en régime sinusoïdal ?

• Impédance complexe $Z$ :
  $Z = \frac{\underline{U}}{\underline{I}} = R + jX$

  • Module : $|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}$.
  • Déphasage : $\varphi = \arg(Z) = \arctan(\frac{X}{R})$.

• Cas particuliers :

  Dipôle	Impédance $Z$	Déphasage $\varphi$
  Résistance	$Z = R$	$\varphi = 0$
  Inductance	$Z = j\omega L$	$\varphi = +\frac{\pi}{2}$
  Capacité	$Z = \frac{1}{j\omega C}$	$\varphi = -\frac{\pi}{2}$

• Nature de l’impédance :

  • $\varphi > 0$ : Inductive.
  • $\varphi < 0$ : Capacitive.

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❓ 1.4 Comment calculer les puissances en monophasé ?

• Triangle des puissances :

  Puissance	Formule	Unité	Description
  Active ($P$)	$P = UI \cos \varphi$	W	Énergie utile (moyenne de $p(t)$).
  Réactive ($Q$)	$Q = UI \sin \varphi$	VAR	Échange d’énergie (sans transformation).
  Apparente ($S$)	$S = UI$	VA	Dimensionnement des équipements.

• Relation fondamentale :
  $S^2 = P^2 + Q^2$

• Facteur de puissance :
  $fp = \frac{P}{S} = \cos \varphi \quad (\text{toujours} \le 1)$

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❓ 1.5 Qu’est-ce que la méthode de Boucherot et la compensation d’énergie réactive ?

• Méthode de Boucherot :

  • Puissances totales :
    $P_{tot} = \sum P_i \quad ; \quad Q_{tot} = \sum Q_i$
  • Puissance apparente totale :
    $S_{tot} \le \sum S_i$ (inégalité due à la nature vectorielle).

• Compensation d’énergie réactive :

  • But : Réduire $Q$ sans modifier $P$ (via ajout de condensateurs).
  • Dimensionnement du condensateur :
    $C = \frac{P_{tot} (\tan \varphi_{av} - \tan \varphi_{ap})}{U^2_{alim} \cdot \omega}$

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🔹 2. Transformateur Monophasé

❓ 2.1 Qu’est-ce qu’un transformateur parfait ?

• Définition : Aucune perte (pas de pertes Joule, pas de fuites magnétiques).

• Rapport de transformation $m$ :
  $m = \frac{N_2}{N_1} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{I_1}{I_2}$

  • Tensions : $u_2 = -m u_1$ (opposition de phase).
  • Courants : $i_1 = -m i_2$.

• Bilan de puissance :
  $S_1 = S_2 \quad ; \quad P_1 = P_2 \quad ; \quad Q_1 = Q_2$

  • Rendement : $\eta = 1$.

• Modèle électrique :

  • Vu de la charge : Source de tension $E_2 = U_2$.
  • Vu de l’alimentation : Impédance équivalente $Z_{eq} = \frac{Z_c}{m^2}$.

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❓ 2.2 Comment modéliser un transformateur réel ?

• Pertes et imperfections :

  • Pertes cuivre ($p_J$) : $R_1 I_1^2 + R_2 I_2^2$.
  • Pertes fer ($p_{Fe}$) : $\frac{U_1^2}{R_\mu}$.
  • Fuites magnétiques : $L_1, L_2$.

• Schéma équivalent simplifié (Hypothèses de Kapp) :

  • Modèle de Thévenin :
    $E_S = -m U_{1n} \quad ; \quad Z_S = R_S + jX_S$
    • $R_S = m^2 R_1 + R_2$.
    • $X_S = (m^2 L_1 + L_2) \omega$.

• Chute de tension au secondaire :
  $\Delta U_2 \approx I_2 (R_S \cos \varphi_2 + X_S \sin \varphi_2)$

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❓ 2.3 Comment déterminer expérimentalement les paramètres d’un transformateur ?

• Essai à vide ($I_{20} = 0$) :

  • Mesures : $U_{20}, I_{10}, P_{10}$.
  • Calculs :
    $m = \frac{U_{20}}{U_{1n}} \quad ; \quad R_\mu = \frac{U_{10}^2}{P_{10}} \quad ; \quad L_m \text{ déduit de } Q_{10}$

• Essai en court-circuit ($U_{2cc} = 0$) :

  • Mesures : $U_{1cc}, I_{1cc}, P_{1cc}$.
  • Calculs :
    $Z_S = \frac{U_{1cc}}{I_{2n}} \quad ; \quad R_S = \frac{P_{1cc}}{I_{2cc}^2} \quad ; \quad X_S = \sqrt{Z_S^2 - R_S^2}$

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❓ 2.4 Comment calculer le rendement d’un transformateur ?

• Méthode directe :
  $\eta = \frac{P_2}{P_1} = \frac{U_2 I_2 \cos \varphi_2}{U_1 I_1 \cos \varphi_1}$

• Méthode des pertes séparées :
  $\eta = \frac{P_2}{P_2 + p_J + p_{Fe}}$

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🔹 3. Systèmes Triphasés

❓ 3.1 Qu’est-ce qu’un système triphasé équilibré ?

• Définition : 3 grandeurs (tension/courant) de même fréquence, même valeur efficace, et déphasage régulier ($2\pi/3$).

• Tensions :

  • Simples ($V$) : Entre phase et neutre.
  • Composées ($U$) : Entre deux phases.
  • Relation : $U = V \sqrt{3}$.

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❓ 3.2 Comment coupler un récepteur triphasé ?

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❓ 3.3 Comment calculer les puissances en triphasé ?

• Formules générales (quel que soit le couplage) :
  $P = U I \sqrt{3} \cos \varphi \quad ; \quad Q = U I \sqrt{3} \sin \varphi \quad ; \quad S = U I \sqrt{3}$

• Comparaison Δ vs Y (même impédance $Z$) :
  $P_\Delta = 3 P_Y$

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❓ 3.4 Comment mesurer les puissances en triphasé ?

• Méthode des deux wattmètres :
  $P = W_1 + W_2 \quad ; \quad Q = \sqrt{3} (W_1 - W_2)$

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🔹 4. Filtres Actifs et ALI

❓ 4.1 Comment analyser un quadripôle ?

• Transmittance :
  $T(j\omega) = \frac{U_s}{U_e}$

• Diagramme de Bode :

  • Gain : $G_{dB}(\omega) = 20 \log_{10} |T(j\omega)|$.
  • Phase : $\varphi(\omega) = \arg(T(j\omega))$.

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❓ 4.2 Quels sont les types de filtres ?

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❓ 4.3 Comment fonctionne un AOP en régime linéaire ?

• AOP parfait :

  • Courants d’entrée nuls ($i_+, i_- \approx 0$).
  • Tension différentielle $\varepsilon = v_+ - v_- \approx 0$.

• Montages de base :

  Montage	Formule de Transmittance
  Suiveur	$v_s = v_e$
  Inverseur	$V_s/V_e = - (R_2 / R_1)$
  Non-inverseur	$V_s/V_e = 1 + R_2/R_1$
  Intégrateur	$T = -1/(j \omega R C)$

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🔹 5. Régime Déformé

❓ 5.1 Comment caractériser un signal périodique déformé ?

• Valeur moyenne :
  $\hat{S} = \frac{1}{T} \int_0^T s(t) dt$

• Valeur efficace :
  $S = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T s^2(t) dt}$

• Décomposition de Fourier :
  $s(t) = \hat{s} + \sum_{n=1}^{\infty} \hat{S}_n \sqrt{2} \sin(n \omega t + \varphi_n)$

• Taux de distorsion harmonique (THD) :
  $\text{THD} = \frac{\sqrt{\sum_{n=2}^{\infty} S_n^2}}{S_1}$

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❓ 5.2 Comment calculer les puissances en régime déformé ?

• Puissances :
  • Active : $P = U_1 I_1 \cos \varphi_1$.
  • Réactive : $Q = U_1 I_1 \sin \varphi_1$ (si tension sinusoïdale).
  • Apparente : $S^2 = P^2 + Q^2 + D^2$.
  • Déformante : $D = \sqrt{S^2 - P^2 - Q^2}$.

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🧠 Ancrage Mémoriel

• 🔑 Concepts clés :

  • Régime sinusoïdal : Impédance complexe, triangle des puissances, compensation réactive.
  • Transformateur : Rapport de transformation, essais à vide/court-circuit, rendement.
  • Triphasé : Couplages étoile/triangle, puissances, méthode des deux wattmètres.
  • Filtres actifs : Transmittance, diagramme de Bode, montages AOP.
  • Régime déformé : Décomposition de Fourier, THD, puissances déformantes.

• ⚠️ Pièges à éviter :

  • Confondre tension simple ($V$) et composée ($U$) en triphasé.
  • Oublier le signe négatif dans le rapport de transformation du transformateur.
  • Négliger la nature vectorielle des puissances (Boucherot).

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flowchart TD
    A[Régime Sinusoïdal] --> B[Impédance Complexe]
    A --> C[Triangle des Puissances]
    B --> D[Loi d'Ohm en AC]
    C --> E[Compensation Réactive]
    F[Transformateur] --> G[Rapport de Transformation]
    F --> H[Essais Expérimentaux]
    I[Triphasé] --> J[Couplages Étoile/Triangle]
    I --> K[Puissances Triphasées]
    L[Filtres Actifs] --> M[Transmittance]
    L --> N[Montages AOP]
    O[Régime Déformé] --> P[Décomposition de Fourier]
    O --> Q[THD et Puissances]