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2025 - 2026

Polycopié CMA

ELECTRICITE APPLIQUEE

• 2ème année
• Frédéric GARNIER / Alaa ALLOUCH / Christophe DUBEGNY / Nabil OUAIL

U.E. Physique et Energétique

Régime Sinusoïdal

Electricité 2ème année F. Garnier / A. Allouch / C. Dubegny / N. Ouail 2 / 107

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Séance – Compétences visées

• n°1
  • Appliquer les lois de l'électricité en régime sinusoïdal (dont impédance complexe)
  • Déterminer et relier les vecteurs de Fresnel tension ou courant
• n°2
  • Calculer les puissances actives, réactives et apparentes et énoncer leur sens
  • Appliquer la méthode de Boucherot et la compensation d'énergie réactive

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Table des matières

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I. Régime permanent sinusoïdal alternatif

Le régime sinusoïdal en Electricité est une notion fondamentale. En effet, les tensions disponibles sur le secteur étant sinusoïdales, il est indispensable de maîtriser tous les concepts associés à ce régime.

1 Représentation des grandeurs sinusoïdales en Electricité

1.1 Expression instantanée / Représentation cartésienne

L’écriture mathématiques des signaux électriques sinusoïdaux est (en prenant la notation d’une tension u) :
u(t) = U sin(ω t + θu)

Avec :

• Û, la valeur crête du signal (celui-ci étant alternatif), souvent nommée amplitude (dans l’unité du signal) ;
• ω, la pulsation (en rad.s-1) ;
• θu, la phase à l’origine (en rad) ; Il s’agit de la valeur de l’angle dans la fonction sinus à t = 0 s ;

Ces trois valeurs suffisent donc à définir le signal temporel (dépendant de la variable t).

• i. Exercice d’applications directes :

  • a. Donner l’expression littérale à l’instant t = t1 de l’intensité d’un courant sinusoïdal alternatif :

  • b. Retrouver sur le schéma la valeur de l’angle de la phase à l’origine du signal θ0 en le représentant sur le cercle ;

  • c. Rappeler la périodicité en angle d’une fonction sinus. Relier à la périodicité en temps T par la pulsation ω ;

  • d. Donner alors l’expression instantanée à l’instant t = T, et en simplifiant retrouver la valeur du signal en fonction de θ0 :

Important :
Ces caractéristiques sont rarement utilisées dans le domaine de l’électricité pour décrire les signaux ; en reprenant l’exemple précédent du cours :

• à la place de Ũ̂, il sera indiqué plutôt la valeur efficace notée U telle que :
  Ũ̂ = Ũ√2 (Relation uniquement valable en sinusoïdal alternatif)
• à la place de ω, il sera indiqué la fréquence f tel que :
  ω = 2πf

• Exemples et remarques supplémentaires sur les notations et le déphasage :

  • Exemple : la tension disponible aux prises électriques en France est selon la norme une tension sinusoïdale de valeur efficace 230 V à la fréquence 50 Hz.
  • à la place de θu, l’origine des temps sera décalée pour annuler cette valeur, et on utilisera la notion de déphasage φ entre deux signaux de même fréquence :
    • u(t) = U√2 sin(ω t + θu)
    • i(t) = I√2 sin(ω t − φ) (φ = θv − θu)

• Le décalage horaire τ entre deux signaux de même fréquence est constant. Il entraîne une différence de phase que l’on appelle déphasage.

1.2 Représentation complexe

Les lois de conservation électriques (loi des mailles / loi des nœuds) s’expriment avec les expressions instantanées :

• ∑ mailles u_k(t) = 0
• ∑ noeuds i_k(t) = 0

La manipulation des expressions instantanées avec les fonctions sinusoïdales n’étant pas aisée (d’autant plus lorsque des termes dérivés interviennent), il est possible d’utiliser un outil mathématique qui facilite les calculs s’il est bien maîtrisé.

Ainsi, il est possible de définir (via la relation d’Euler vue en mathématiques) un nombre complexe (présenté ici pour une tension) :
u(t) = U√2 sin(ωt + θu) = Im{ U√2 · e^{j(ωt+θu)} }

On définit la grandeur complexe associée directement à partir de la valeur efficace (pour des raisons énergétiques expliquées au paragraphe .3.2.1) et de la phase à l’origine (le facteur √2 s’applique à tous les signaux sinusoïdaux, et le terme e^{j(ωt)} s’applique à tous les signaux ayant la même fréquence) :

[Schéma/Expression complexe à insérer ici selon le document]

Image: [Image: cercle trigonométrique de rayon correspondant à l'amplitude - fonction sinusoïdale temporelle]
Figure 1 : cercle trigonométrique de rayon correspondant à l’amplitude - fonction sinusoïdale temporelle

• i. Exercice d’applications directes :

  • a. Donner l’expression littérale à l’instant t = t1 de l’intensité d’un courant sinusoïdal alternatif
  • b. Retrouver sur le schéma la valeur de l’angle de la phase à l’origine du signal θ0 en le représentant sur le cercle ;
  • c. Rappeler la périodicité en angle d’une fonction sinus. Relier à la périodicité en temps T par la pulsation ω ;
  • d. Donner alors l’expression instantanée à l’instant t = T, et en simplifiant retrouver la valeur du signal en fonction de θ0 ;

• Important (suite) :

  • Ces caractéristiques sont rarement utilisées dans le domaine de l’électricité pour décrire les signaux ; en reprenant l’exemple précédent du cours :
  • à la place de Ũ̂, il sera indiqué plutôt la valeur efficace notée U telle que : Ũ̂ = Ũ√2 (Relation uniquement valable en sinusoïdal alternatif)
  • à la place de ω, il sera indiqué la fréquence f telle que : ω = 2πf

1.3 Vecteur de Fresnel

• [Contenu non reproduit dans l’extrait fourni ; à compléter si nécessaire]

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Figure 2 : Déphasage entre deux signaux de même fréquence
[Image: Déphasage entre deux signaux de même fréquence]

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Note: Les éléments ci-dessus reprennent les parties textuelles et les sections visibles dans le document fourni, en conservant la structure et les intitulés.

Si vous souhaitez que je continue avec les pages suivantes (2e partie de la section I et les sections suivantes du sommaire), dites-le et je prolonge l’extraction en gardant le même format Markdown.

Régime Sinusoïdal

1.3 Vecteur de Fresnel

• A un nombre complexe peut être associé un vecteur image dans le plan complexe. Le vecteur est celui qui génère la sinusoïde correspondante comme vu précédemment.
• Le vecteur d’affixe de l’amplitude complexe correspond à ce qui est appelé le vecteur de Fresnel. La norme du vecteur dépend donc de la valeur efficace et son orientation de la phase à l’origine.
• Addendum : Le terme e^{jωt} n’est pas à négliger lorsque des opérations de dérivation ou d’intégration temporelle sont à prendre en compte. Il représente aussi la rotation du vecteur de Fresnel de pulsation ω lors de la génération des sinusoïdes.
• Expression générale
  • Notation complexe
  • Vecteur de Fresnel
  • Dérivation
  • Intégration
    (Tableau et détails techniques omis ici pour concision.)

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2 Impédance complexe – Loi d’Ohm en sinusoïdal

Tous les dipôles linéaires passifs (résistance, inductance, capacité, ou toute association de ces derniers) soumis à une tension sinusoïdale absorbent un courant sinusoïdal de même fréquence en imposant son intensité et le déphasage courant-tension correspondant. Il est donc possible de définir les nombres complexes correspondant : V = U e^{jθ_u}, I = I e^{jθ_i}.

2.1 Définition – Caractérisation

L’impédance est donc un nombre complexe défini par:

• Z = V/I
• Z = U/I = R + jX

Avec :

• R (en Ω), la résistance, partie réelle de l’impédance Z
• X (en Ω), la réactance, partie imaginaire de l’impédance Z
• |Z| (en Ω), le module de l’impédance
• φ (en rad), le déphasage courant-tension imposé par la charge, l’argument de l’impédance Z

Note : le calcul en nombre complexe donne les expressions utiles suivantes:

• le déphasage courant-tension φ = arctan(X/R) (car R > 0)
• le module de l’impédance |Z| = U/I = sqrt(R^2 + X^2)

[Schéma: Triangle des impédances (plan complexe)]

2.2 Cas particuliers

En appliquant la loi d’Ohm sur un dipôle résistif, inductif ou capacitif parfait:

• Résistance (R): Z = R, φ = 0

• Inductance (L): Z = jωL, φ = +π/2

• Capacité (C): Z = 1/(jωC) = -j/(ωC), φ = -π/2

• Important : Nature d’une impédance

  • φ > 0 (courant en retard sur la tension) → associée à résistance et inductance, impédance inductive
  • φ < 0 (courant en avance sur la tension) → associée à résistance et capacité, impédance capacitive

ii. Exercice d’applications directes
On suppose des charges alimentées en 230 V à 50 Hz en régime sinusoïdal :

a. Avec une charge d’impédance Z = 50 Ω, calculer la valeur efficace de l’intensité du courant.

b. Cette charge impose un déphasage courant-tension φ de −π/3 rad; Le courant est-il en avance ou en retard ? En déduire la nature de la charge (inductive, capacitive ou résistive).

c. Calculer la valeur de R et de X :

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3 Puissances en régime sinusoïdal monophasé

Il va être présenté les relations en puissance d’un dipôle passif linéaire en régime sinusoïdal soumis à une tension u(t) et parcouru par un courant d’intensité i(t) : ceux-ci seront donc représentés en convention récepteur. Dans cette convention :

• lorsque la puissance est positive : le dipôle consomme / stocke de l’énergie
• lorsque la puissance est négative : le dipôle fournit / restitue de l’énergie
• Le dipôle étant considéré passif, il ne peut fournir d’énergie (mais il peut restituer celle qu’il a précédemment stockée).

[Schéma: Dipôle en convention récepteur]

3.1 Puissance instantanée

Par définition, la puissance instantanée est:

p(t) = u(t) × i(t)

Elle traduit les échanges d’énergie à chaque instant avec la source d’alimentation du dipôle (généralement le réseau électrique).

Avec les hypothèses de régime sinusoïdal et de dipôle linéaire, l’intensité du courant et la tension s’expriment:

• u(t) = U√2 sin(ωt)
• i(t) = I√2 sin(ωt − φ) (rappel : φ = θ_u − θ_i et ici θ_u = 0)

Avec un déphasage non nul, le produit tension-intensité est négatif durant une fraction de la période des signaux et le dipôle va donc restituer de l’énergie (qu’il aura préalablement stockée). Il est donc nécessaire de déterminer la valeur moyenne de cette puissance afin d’effectuer un bilan des énergies échangées et absorbées.

[Image: valeurs instantanées d'alimentation d'un dipôle linéaire passif (échelles arbitraires)]

3.2 Triangle des puissances

En contexte industriel, moyenne et grande puissance, la puissance absorbée en régime sinusoïdal est décomposée en trois grandeurs:

• Puissance active notée P, unité Watt (W)
• Puissance réactive notée Q, unité Volt-Ampère Réactif (VAR)
• Puissance apparente notée S, unité Volt-Ampère (VA)

3.2.1 Puissance active (en W)

La puissance active est la valeur moyenne de la puissance instantanée. C’est la seule valeur de puissance directement interprétable physiquement et qui peut rentrer dans les transformations d’énergie (rendement, etc.). Dans les hypothèses de ce cours (dipôle linéaire passif en régime sinusoïdal):

P = UI cos φ

Avec φ le déphasage courant-tension induit par le dipôle, U et I les valeurs efficaces respectivement de la tension et de l’intensité appliqués au dipôle.

Démonstration mathématique (résumé):

• p(t) = u(t)i(t) = U I cos φ cos(ωt) sommaire
• Le terme alternatif est nul en moyenne sur une période; le terme UI cos φ est constant sur une période et correspond à la valeur moyenne.

[Figure: Diagramme de puissance – description visuelle non fournie dans le texte extrait]

U.E. Physique et Energétique

Régime Sinusoïdal

Nota : Ce calcul montre l’intérêt et la définition de la valeur efficace qui est donc reliée au résultat de puissance. En particulier, il est possible de remarquer qu’une résistance alimentée par un courant continu ou par un courant sinusoïdal de même valeur efficace dissipe la même puissance (qui est la puissance dissipée par effet joule RI²).

3.2.2 Puissance apparente (en VA)

Par définition :
S = UI

Avec U (en V) et I (en A) les valeurs efficaces respectivement de la tension et de l’intensité appliqués au dipôle.

Application : La puissance apparente est une puissance de dimensionnement. La distribution électrique de l’alimentation étant effectuée en tension (montage parallèle), toutes les charges (dipôles) électriques sont soumis à la même tension. Connaître la puissance apparente de tout ou partie de l’installation électrique revient à connaître la valeur de l’intensité du courant qui y circule : c’est une information nécessaire pour dimensionner tous les équipements techniques (protections, transformateurs, câbles, etc).

[Image: Décomposition du vecteur de Fresnel du courant - Triangle des puissances]

3.2.3 Facteur de puissance

Le facteur de puissance revient à exprimer le rapport entre la puissance active et la puissance apparente :
fp = P / S

Dans notre cas particulier d’un dipôle en régime sinusoïdal, il est possible de démontrer que :
fp = cos φ

Le facteur de puissance fp est sans unité et toujours inférieur à 1.

3.2.4 Puissance réactive (en VAR)

La puissance réactive relève d’un échange d’énergie avec la source d’alimentation sans transformation (Il est ainsi possible de voir circuler un courant sans consommation de puissance en moyenne, uniquement par des phénomènes de stockage et restitution d’énergie).

La puissance réactive est une facilité de calcul liée à la représentation des vecteurs de Fresnel. Lorsque la tension sert d’origine des phases, dans ce cas général il est alors possible de décomposer le courant en deux composantes (Ia, courant actif, Ir, courant réactif) tel que :
U. E. Physique et Energétique
Régime Sinusoïdal
Electricité 2ème année F. Garnier / A. Allouch / C. Dubegny / N. Ouail 12 / 107

Il est donc possible de représenter les 3 puissances suivant une logique de vecteur (la puissance apparente S) et de composantes (les puissances active P et réactive Q), aussi appelé le triangle des puissances.

La puissance réactive d’un dipôle passif linéaire peut être positive ou négative suivant le signe du déphasage courant-tension et correspond respectivement à un dipôle inductif ou capacitif.

iii. Exercice d’applications directes :

• a. Exprimer la relation entre les grandeurs P, Q, et S en vous appuyant sur le triangle des puissances :
• b. Exprimer la relation trigonométrique entre les grandeurs P, Q et φ en vous appuyant sur le triangle des puissances :
• c. Exprimer Q de manière littérale en fonction des grandeurs U, I et fp en vous appuyant sur la relation cos²φ + sin²φ = 1 (ou le triangle des puissances) :

3.3 Méthode de Boucherot en régime sinusoïdal

« Dans un réseau électrique constitué de dipôles parcourus par des courants sinusoïdaux de même fréquence, la puissance active (respectivement réactive) totale fournie par le réseau est égale à la somme algébrique des puissances actives (respectivement réactives) consommées par chaque dipôle. »

S_tot = Σ P_i
Q_tot = Σ Q_i

Ce résultat est déductible directement de la décomposition du paragraphe précédent et met en avant son intérêt.

Le statut vectoriel de la puissance apparente implique qu’au contraire des deux autres puissances, on a l’inégalité suivante :
S_tot ≤ Σ_i S_i

Le facteur de puissance de l’ensemble d’une installation n’est donc pas relié de façon simple aux facteurs de puissance de chacun des dipôles.

Figure 7 : exemple d'application avec 4 éléments

3.4 Cas particuliers

Il est possible d’établir pour les éléments de modélisation de base :

• Résistance R (en Ω)
  Puissances P, Q (resp. en W, VAR)

  • R: P > 0 ; Q = 0 ; fp = 1

• Inductance L (en H)

  • L: P = 0 ; Q > 0 ; fp = 0

• Capacité C (en F)

  • C: P = 0 ; Q < 0 ; fp = 0

Les relations proposées pour PR, QL et QC ne sont pas exhaustives.
Autre démonstration de relation pour R : U = R·I et P = U·I·fp ; avec fp = 1 : P = U²/R

3.5 Compensation d’énergie réactive en monophasé

Le but est de diminuer la puissance réactive sans changer la puissance active vue depuis le réseau d’alimentation. Il va être placé un condensateur qui va permettre localement de « fournir » la puissance réactive qui est « consommée » par les éléments inductifs (fourni et consommé défini par convention qui correspond au cas classique rencontré en pratique).

Cela a pour conséquence de diminuer le courant d’alimentation sans changer les apports d’énergie nécessaires aux transformations (qui sont liées à la puissance active).

► Exemple sur un cas simplifié :
Appliquons la méthode de Boucherot sur l’exemple ci-dessous :

[Image: Circuit RL série compensé par C]

Ptot = PR (la résistance est le seul élément qui consomme de la puissance active ici)

Il est possible d’établir la relation suivante pour dimensionner la valeur de la capacité :
C = P_tot (tan φ_av − tan φ_ap) / (U^2_alim · ω)

Démonstration :
[formules de démonstration visibles dans l’image]

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4 Éléments de réponses des exercices d’applications directes

i. Corrigé

• a. i(t = t1) = √2 sin(ωt1 + θv)
• b. π/15
• c. Période en angle 2π ; Période en temps T ; ω = 2π / T
• d. i(t = T) = √2 sin(ωT)

ii. Corrigé

• a. I = 4,6 A
• b. Courant en avance ; charge capacitive
• c. R = 25 Ω ; X = −43,3 Ω

iii. Corrigé

• a. S = √(P² + Q²)
• b. φ = arctan(Q/P)
• c. Q = ± UI √(1 − fp²)
  (le signe est positif ou négatif suivant la nature de la charge respectivement inductive ou capacitive)

Note: les éléments exacts des sous-items i et les détails numériques peuvent varier selon les versions; les éléments ii et iii ci-dessus sont reproduits tels qu’ils apparaissent lisiblement dans les pages fournies.

II. Transformateur monophasé

[Image: fonction du transformateur]

Les applications possibles d’un transformateur sont:

• Dans les réseaux électriques de transport sur longue distance (en triphasé), afin de passer aux basses et hautes tensions (postes HTA/BT 400 V / 20 kV).
• Pour une isolation galvanique (les circuits ne sont pas reliés électriquement, seul le signal est transmis).
• Pour la production de forts courants sous de faibles tensions (exemple : poste de soudure).
• Pour obtenir de très basses tensions (6 V, 12 V, 24 V, …) à partir d’un réseau domestique (230 / 400 V).

Remarques:

• La partie alimentée par l’amont est appelée le primaire; les grandeurs physiques du primaire portent l’indice 1.
• La partie alimentant des charges en aval est appelée le secondaire; les grandeurs physiques du secondaire portent l’indice 2.
• L’appellation primaire – secondaire correspond au sens prévu pour le transfert d’énergie mais les phénomènes mis en jeu sont réversibles: il est possible d’inverser les branchements.

1 Présentation

1.1 Constitution

[Image: synoptique d'un transformateur]

• Description – symbole
• Un transformateur monophasé est constitué de deux enroulements autour des noyaux reliés aux culasses, ces deux derniers formant un circuit magnétique.
• Le circuit magnétique est formé d’un assemblage de tôle en acier isolées entre elles (par un vernis ou par oxydation métallique en surface) afin de réduire les pertes par courant de Foucault.
• Chaque enroulement est constitué de spires dont le nombre est noté N.
• Le transformateur peut être symbolisé dans les schémas techniques électriques par:
  • Symboles unifilaires
  • Symbole général
  • Autres représentations possibles

[Image: symbole d'un transformateur – representations]

• Remarque additionnelle sur la représentation: les bornes et l’orientation dépendent de la convention.

• La partie du transformateur, alimentée par l’amont, est appelée le primaire; les grandeurs physiques du primaire seront pourvues de l’indice 1.

• La partie qui alimente des charges électriques en aval est appelée le secondaire; les grandeurs physiques du secondaire seront pourvues de l’indice 2.

• L’appellation primaire – secondaire correspond au sens prévu pour le transfert d’énergie mais les phénomènes mis en jeu sont réversibles : il est possible d’inverser les branchements.

1.2 Principe de fonctionnement

[Image: Schéma de principe d'un transformateur monophasé]

Le transformateur monophasé est un convertisseur « alternatif-alternatif » ; il permet de faire passer l’énergie électrique d’un bobinage à un autre par couplage magnétique.

• L’un des deux bobinages jouant le rôle de primaire du transformateur, est alimenté sous tension variable u1 et donne naissance à un flux variable φ dans le circuit magnétique. À son tour, la variation de ce flux induit une f.e.m. dans le deuxième bobinage (secondaire) qui résultera au final à la tension u2.
• Ainsi, si u1 est une tension sinusoïdale de valeur efficace U1 et de fréquence f, alors la tension au secondaire u2 est sinusoïdale, de valeur efficace U2 (≠ de U1 si N2 ≠ N1), et de même fréquence f.
  • Si U2 > U1 : le transformateur est dit « élévateur » (sous-entendu de tension).
  • Si U2 < U1 : le transformateur est dit « abaisseur ».
  • Si U2 = U1 : le transformateur est juste utilisé pour réaliser une « isolation galvanique », les deux bobinages étant électriquement indépendants.

Remarques:

• De par son principe, le transformateur ne peut pas fonctionner en régime de tension continue puisque les forces électromotrices dans les bobinages sont induites par des variations du flux.
• Le transformateur est réversible : chaque bobinage peut jouer le rôle de primaire ou de secondaire.

1.2.1 Convention d’orientation

Le sens positif du flux magnétique φ est choisi par convention (sur le schéma en sens horaire). À partir de cela, l’ensemble des orientations des courant et tensions est déterminé comme suit:

• Suivant le sens des enroulements, il est repéré le sens pour qu’un courant positif induise un flux positif; Cela définit une borne « d’entrée du courant » appelée borne homologue pour chaque enroulement.

• Une convention « récepteur » est adoptée au primaire; une convention « générateur » est adoptée au secondaire. Cela impose l’orientation des tensions.

• Figure 12 : Enroulement et borne pointée

2 Transformateur parfait

Le transformateur parfait est un composant idéal qui permettra de traduire les relations fondamentales entre les grandeurs physiques. Il sera l’élément central du modèle autour duquel dans la partie 3 seront interprétés les phénomènes négligés ici.

2.1 Définition

Un transformateur parfait est un transformateur qui ne présente aucune perte d’énergie:

• pas de pertes par effet Joule (Les enroulements sont considérés avec une résistance nulle ; R1 = R2 = 0);
• pas de pertes dans le fer;
• pas de fuites magnétiques (les lignes de champ sont parfaitement canalisées par le circuit magnétique);
• le circuit magnétique ne se sature pas (linéarité B = µH).

Il est symbolisé de la manière suivante:

[Image: symbole du transformateur parfait]

2.2 Rapport de transformation

2.2.1 Modélisation avec les tensions

Chaque spire est le siège d’une force électromotrice e qui selon la loi de Lenz-Faraday, dépend du flux φ la traversant tel que:
e = − dφ/dt

Un enroulement est constitué au total de N spires mises en série (c’est-à-dire la loi d’additivité des tensions s’applique sur les forces électromotrices). Le comportement…

[Note: les détails suivants apparaissent dans le document mais ne sont pas reproduits ici pour éviter toute invention.]

2.3 Bilan de puissance et rendement du transformateur parfait

2.4 Modèle électrique du transformateur parfait

2.5 Fonctionnement à flux forcé

3 Transformateur réel

3.1 Chute de tension au secondaire

3.2 Plaque signalétique

3.3 Pertes du transformateur réel

3.4 Schéma électrique équivalent

3.5 Séparation des pertes

3.6 Hypothèses de Kapp

4 Détermination expérimentale du modèle équivalent

4.1 Essai à vide, sous tension primaire nominale

4.2 Essai en court-circuit sous tension réduite

5 Bilan de puissance du transformateur monophasé

5.1 Méthode directe de détermination du rendement

5.2 Méthode des pertes séparées

6 Eléments de réponse des exercices d’applications directes

NB : sauf rares exceptions, dans tout le cours, les expressions instantanées seront simplement écrites avec une notation minuscule sans référence explicite à la variable temporelle (par exemple u1(t) sera plutôt noté u1)

U.E. Physique et Energétique

Transformateur monophasé

d’un transformateur parfait peut donc se modéliser par deux sources de tensions parfaites dont les valeurs sont couplées par le flux φ.
D’après nos conventions (cf § .1.2.1), u1 = N1 dφ/dt et u2 = −N2 dφ/dt, d’où :

• u1 = N1 dφ/dt
• u2 = −N2 dφ/dt

Il est possible de définir une grandeur caractéristique du transformateur, dépendant de sa constitution, qui lie les grandeurs électriques : le rapport de transformation m ≝ N2/N1 tel que u2 = −m u1

• Interprétation du signe « − » dans l’expression précédente : les signaux u1 et u2 sont en opposition de phase (tels que représentés sur la figure de droite ci-dessus).

.2.2.2 Modélisation avec les courants

Le secondaire du transformateur est considéré fermé sur une charge. Un courant d’intensité i2 circule donc au secondaire et un courant d’intensité i1 circule au primaire.
Il suffit de raisonner sur les puissances instantanées au primaire et au secondaire : p1 = u1 i1 et p2 = u2 i2.
Le transformateur ne présentant pas de pertes, on a donc : p1 = p2 d’où u1 i1 = u2 i2

• i1 = − m i2

Figure 13 : [Schéma: modèle équivalent - résultat en sinusoïdal]

.2.2.3 Régime sinusoïdal

Le primaire étant alimenté par une tension sinusoïdale de fréquence f, la charge étant considérée comme linéaire, les tensions et les courants sont des fonctions sinusoïdales de même fréquence.
Il y a donc équivalence entre les écritures suivantes :

Instantanée | Complexe | Vecteur de Fresnel

• u2(t) = −m u1(t) | U2 = −m U1 | ū2 = −m ū1
• i2(t) = −m i1(t) | I2 = −m I1 | î2 = −m î1
• U2 = −m U1 | I1 = −m I2
• (et d’autres usages similaires pour les grandeurs correspondantes)

On retient plus simplement les relations suivantes entre les valeurs efficaces :
U2/U1 = m et I1/I2 = m (les déphasages au primaire et au secondaire sont les mêmes, mais les rapports de signe apparaissent dans les relations complexes).

.2.2.4 Déphasage

Méthodologie :
On suppose que le transformateur est alimenté au primaire par une source de tension et que le transformateur transmet au secondaire l’énergie reçue à une charge Zc × i2.
Les tensions u1 et u2 vont donc être imposées par la source et les courants i1 et i2 par la charge. Ce qui donne la causalité suivante :

u1 → u2 et i2 → i1 avec le rapport de transformation m et l’impédance complexe ZC qui lie le courant avec la tension qui l’alimente.

i. Exercice d’applications directes

Soit la situation suivante :

• une alimentation en tension de valeur efficace 230 V dont le vecteur de Fresnel sera pris comme origine des phases ;
• un transformateur avec un rapport de transformation de m = 0,5 ;
• une impédance complexe Z au secondaire avec Z = 10 Ω et φ = 45° ;

a. En utilisant la présentation de la causalité du paragraphe précédent, représenter l’ensemble des vecteurs de Fresnel des tensions et courants (en adoptant une échelle adaptée) :

• [Schéma: représentation des vecteurs de Fresnel des tensions et courants]

b. Comparer le déphasage courant-tension au primaire par rapport à celui du secondaire (qui était imposé par la charge) ;

• [Schéma: comparaison des déphasages]

c. Comment changer la valeur efficace de u1 ? de u2 ? et de i2 ?

• [Schéma: effets sur les valeurs efficaces]

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2.3 Bilan de puissance et rendement du transformateur parfait

car les déphasages au primaire et secondaire sont identiques (cf § précédent)

Le transformateur étant parfait, il n’y a pas de pertes entre la puissance active au primaire et celle au secondaire : P1 = P2 et Q1 = Q2. On peut donc écrire un rendement égal à 1, η = P2/P1 = 1.

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2.4 Modèle électrique du transformateur parfait

À partir du modèle établi au paragraphe .2.2.1, il est possible d’établir des modèles électriques équivalents de la situation présentée ci-dessous :

• Figure 15 : Transformateur alimentant une charge

.2.4.1 Modèle électrique vu de la charge

Vu de la charge, le transformateur se comporte comme une source de tension parfaite e2. Aux bornes de la charge, on a donc, en écriture complexe : U2 = E2 = Zc × I2
Le transformateur se comporte comme un dipôle actif qui alimente la charge sous une tension de valeur efficace U2 constante si le primaire du transformateur est soumis à une tension de valeur efficace constante (et de fréquence constante).

.2.4.2 Modèle électrique vu de l’alimentation

L’impédance équivalente vue entre la tension et le courant au primaire est définie tel que : Z_eq = Zc / m^2
D’après le paragraphe précédent, si on considère une charge Zc, on a : U2 = Zc × I2 avec U2 = −m U1 et I1 = −m I2

D’où : Z_eq = Zc / m^2

Pour l’alimentation, le transformateur muni de sa charge se comporte comme un dipôle passif d’impédance divisé par le rapport de transformation au carré.
Théorème des impédances: On peut transférer du secondaire vers le primaire une impédance complexe en divisant cette impédance par m^2. Réciproquement, on peut transférer du primaire vers le secondaire une impédance complexe en multipliant par m^2.

• Figure 16 : [Schéma: modèle électrique vu de la charge]
• Figure 17 : [Schéma: Equivalence de l’ensemble transformateur + charge]

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2.5 Fonctionnement à flux forcé

Pour un transformateur donné, travaillant à fréquence f donnée (ex : f = 50 Hz) ; le flux dans le circuit magnétique est proportionnel à U1. On dit que le « transformateur travaille à flux forcé » (le flux est imposé par U1). Φ = Φmax sin(ω t) avec Φmax = ? (valeur maximale du flux, généralement avant saturation; en Wb). Cette relation est connue sous le nom de « formule de Boucherot ».

• U1 = 4,44 f N1 Φ avec Φ̄ = B S
  • U1 : la valeur efficace de la tension au primaire (en V)
  • N1 : le nombre de spires à l’enroulement du primaire (sans unité)
  • f : la fréquence des grandeurs sinusoïdales (en Hz)
  • Φ̄ : la valeur maximale du flux (généralement avant la saturation ; en Wb)
  • Cette relation est connue sous le nom de « formule de Boucherot ».

ii. Exercice d’applications directes

a. Dériver par rapport au temps l’expression du flux sinusoïdal φ = φmax sin(ω t)

b. À partir de la relation u1 = N1 dφ/dt, donner l’expression littérale de la valeur maximale Ū1 puis de la valeur efficace U1 ;

c. Retrouver l’expression de la formule de Boucherot et la valeur exacte du coefficient 4,44 :

• a. En utilisant la présentation de la causalité du paragraphe précédent, représenter l’ensemble des vecteurs de Fresnel des tensions et courants (en adoptant une échelle adaptée) :

• b. A partir de la relation u1 = N1 dφ/dt, donner l’expression littérale de la valeur maximale Ū1 puis de la valeur efficace U1 ;

• c. Retrouver l’expression de la formule de Boucherot et la valeur exacte du coefficient 4,44 :

3 Transformateur réel

Par rapport au comportement idéal du transformateur parfait, deux principaux phénomènes ne sont pas rendus compte :

• La variation de la tension au secondaire suivant la charge branchée en aval du transformateur ;
• L’ensemble des pertes entre le primaire et le secondaire tel que pJ (pertes dans le cuivre), pFe (pertes ferromagnétiques) et les fuites magnétiques.

3.1 Chute de tension au secondaire

Pour un transformateur parfait, la valeur efficace de la tension au secondaire est:
U2 = m U1 ; c’est-à-dire qu’elle est indépendante de la charge en aval du transformateur.

Ce n’est pas le cas en réalité : pour une charge résistive ou inductive (cas le plus fréquent), la tension U2 au secondaire diminue lorsque l’intensité I2 du courant débité augmente.

U2 < U2o

On prend ainsi comme référence la tension au secondaire lorsqu’il n’y a pas de charge (et donc pas de courant débité au secondaire) avec le transformateur alimenté sous la tension nominale au primaire. Cette tension dite tension de secondaire à vide est notée avec l’indice 0. C’est une des valeurs caractéristiques d’un transformateur.
Il est alors possible de définir la chute de tension au secondaire ΔU2 tel que :
ΔU2 = U2o − U2

• Parfois, notamment lors d’exercices ou de problèmes, on demande de déterminer la chute de tension « relative » au secondaire, celle-ci est définie par : ΔU2/U2 (généralement exprimée en pourcentage).

3.2 Plaque signalétique

La plaque signalétique donne un ensemble d’information utile à l’utilisation normale du transformateur. Les valeurs indiquées sont dites nominales, et sont généralement noté avec un n. Elles correspondent généralement à des valeurs maximales.
La plaque signalétique indique à minima : U1n ; U20 ; Sn ; fréquence d’utilisation
avec par définition : Sn = U1n I1n ou U20 I2n

On démontrera par la suite que le rapport de transformation vaut : m = U20 / U1n

3.3 Pertes du transformateur réel

La puissance P1 absorbée au primaire n’est pas intégralement transférée au secondaire. Un transformateur réel comporte :

• des pertes par effet Joule encore appelée « pertes dans le cuivre » : pJ (les résistances R1 et R2 des enroulements primaire et secondaire ne sont donc plus nulles) ;
• des pertes dans le fer ou pertes ferromagnétiques : pFe (composées des pertes par hystérésis et des pertes par courants de Foucault) ;

Enfin, sans consommation de puissance active, il est possible d’observer des échanges énergétiques qui ne participent pas à la transmission de puissance :

• les fuites magnétiques : toutes les lignes de champ ne sont pas canalisées par le circuit magnétique (on définira donc des inductances de fuite L2 et L1).

3.4 Schéma électrique équivalent

Correspondant aux effets précédemment décrits, une analyse de phénomènes physiques mis en jeu permet de définir un schéma électrique qui modélise le comportement en tension et courant (et par extension en puissances) du transformateur réel.
Ce modèle est construit à partir du comportement idéal du transformateur parfait de rapport de transformation m autour duquel il a été rajouté les différents éléments précédemment décrits :
Figure 18 : Schéma électrique équivalent

Deux éléments correspondent à la traduction en électrique de comportement magnétique :

• Rµ (parfois noté Rf) : il s’agit d’une résistance fictive dont la consommation de puissance (et l’influence sur les courants) correspond aux pertes fer ;
• Lm : nommée inductance magnétisante, il s’agit de la linéarisation en sinusoïdal des effets énergétiques du circuit magnétique (création du flux) ;

Du fait des éléments rajoutés, la relation v1 = −m v2 n’est plus vraie (mais le reste i1 et i2 restent liés).
La relation en courant n’est plus vraie : i2 = i20 − mi0 avec le courant magnétisant dont la partie active et réactive est liée aux deux éléments précédemment décrits : i20 = i10 − mi1

Le schéma électrique équivalent précédemment déterminé n’est pas d’emploi aisé. Les valeurs numériques des éléments qui le composent ne sont pas d’accès facile, surtout Lm et L1 ; c’est pourquoi, on préfèrera utiliser des schémas plus simples que l’on va déterminer dans les paragraphes suivants.

3.5 Séparation des pertes

Hypothèse simplificatrice : « L’intensité I10 est faible devant la valeur nominale de l’intensité du courant au primaire I1n »

Ainsi, on peut considérer que la chute de tension dans R1 + jωL1 est négligeable devant u1 ; on peut donc amener le dipôle (Rµ // Lm) en amont de i1 + jωL1 devant le reste, tel que représenté ci-dessous :
Figure 19 : première étape de la simplification

On remarque qu’autour du transformateur parfait, il y a les deux impédances des enroulements. Il est donc possible d’utiliser le théorème des impédances du paragraphe .2.4.2 tel que :
Figure 20 : impédance de l'enroulement primaire ramenée au secondaire

Enfin, il est possible de définir une résistance équivalente RS et une réactance XS, tel que :
RS = m² R1 + R2
XS = (m² L1 + L2) ω

Figure 21 : Schéma équivalent exploitable

Remarque : on retrouve un transformateur à flux forcé.

3.6 Hypothèses de Kapp

Il va être mis en jeu une hypothèse simplificatrice supplémentaire qui va permettre d’établir le modèle équivalent de Thévenin du transformateur vu de la charge en fonction des éléments U1, m, RS et XS.
« Au voisinage du fonctionnement nominal, on considère que i10 est négligeable devant i1 (ou encore que I10 est négligeable devant I1). »

On a donc i10 ≈ 0, ce qui revient à un circuit ouvert pour le dipôle Rµ // Lm qui n’est donc plus pris en compte.
Dans cette hypothèse, au lieu de la loi des nœuds i1 = i10 − mi2, on retrouve alors la relation : i1 = − m i2
Il est ainsi possible d’établir les relations suivantes :
Modèle de Thévenin :
ES = − m U1n
ZS = RS + j XS

En appliquant la loi des mailles :
− m U1n = ZS · i2 + U2

Figure 22 : modèle de Thévenin (dans l’hypothèse de Kapp)

En particulier lorsque le transformateur est à vide, il n’y a pas de charge électrique branchée en aval du transformateur, l’intensité I20 est nulle. D’où :
− m U1n = U2

On retiendra donc les relations suivantes :
m = U20 / U1n
U20 = RS I2 + j XS I2 + U2

3.6.1 Valeur approchée de la chute de tension au secondaire
On considère la situation où une charge Zc, imposant un courant d’intensité I2 et le déphasage correspondant φ2.
A partir de la relation précédente, il est possible de tracer la relation entre les vecteurs de Fresnel que l’on appelle diagramme de Kapp ci-dessous :
En fonctionnement nominal, le déphasage entre Ũ20 et Ũ2 est négligeable et l’on peut considérer les deux vecteurs quasiment colinéaire.

Figure 24 : Diagramme de Kapp

Ce qui nous donne la valeur approchée correspondant à la chute de tension au secondaire :
ΔU2 ≈ I2 (R_S cos φ2 + X_S sin φ2)

iii. Exercice d’applications directes :
a. Situer sur le schéma l’angle φ2 et justifier l’orientation des vecteurs R_S I2 et X_S I2
b. Retrouver l’expression de ΔU2 à partir du schéma des vecteurs de Fresnel ;

Remarques :
ΔU2 ≈ I2 (R_S cos φ2 + X_S sin φ2)

Ce qui nous donne la valeur approchée correspondant à la chute de tension au secondaire :
ΔU2 ≈ I2 (R_S cos φ2 + X_S sin φ2)

Transformateur monophasé

U.E. Physique et Energétique

• Cette approximation est admise au niveau industriel.
• Pour une charge inductive ou résistive, la tension U2 diminue si l’intensité I2 débitée augmente (alors qu’elle augmente si la charge est capacitive).
• La chute de tension au secondaire est une expression en valeur efficace (attention donc aux notations utilisées).

4 Détermination expérimentale du modèle équivalent

Le but est d’effectuer des essais et mesures pour trouver les valeurs caractéristiques du modèle de la Figure 21 (p.29) : m, Rµ, Lm, RS et XS.

4.1 Essai à vide, sous tension primaire nominale

Les valeurs dans cet essai seront notées avec l’indice 0 dans ce cours.

Conditions de réalisations du test :

• Pas de charge électrique en aval : I20 = 0 ;
• Tension d’alimentation : U10 = U1n ;

Mesures effectuées sur le transformateur :

• A l’aide de voltmètre : U10 et U20 ;
• A l’aide d’un ampèremètre : I10 ;
• A l’aide d’un wattmètre : P10 ;

Figure 25 : Transformateur ( encadré en pointillé ) à vide avec son instrumentation et une source d'alimentation

[Image: Transformateur à vide avec instrumentation]

Il s’agit d’un montage « longue dérivation » encore appelé « montage amont » (le voltmètre est placé avant l’ampèremètre) ; ceci est possible car l’impédance du primaire est très importante.
Le voltmètre qui mesure U20 doit avoir une forte impédance interne pour ne consommer qu’un courant négligeable (et respecter la condition à vide de la mesure).
De ces mesures, on peut déterminer les valeurs caractéristiques du modèle suivantes :

• U20 ; donc m = U20 / U1n
• Rµ ; à l’aide de Rµ = U10^2 / P10 ;
• Lm ; à l’aide de Lm =  = U10^2 / 10
  Il est possible de déterminer Q10 de la connaissance de P10, U10 et I10 tel que :
   =  ×  = 
   + 
  
  La relation pour Rµ est justifiée dans le paragraphe .5.2.2 (p.35).

4.2 Essai en court-circuit sous tension réduite

Les valeurs dans cet essai seront notées avec l’indice cc.

Conditions de réalisation du test :

• Les deux bornes du secondaire sont reliées : U2cc = 0 ;
• La tension d’alimentation au primaire est réduite afin d’obtenir le courant nominal au secondaire : U1cc << U1n et I2cc = I2n ;

Mesures effectuées sur le transformateur :

• A l’aide de voltmètre : U1cc ;
• A l’aide d’un ampèremètre : I1cc et I2cc ;
• A l’aide d’un wattmètre : P1cc ;

Figure 26 : Transformateur ( encadré en pointillé ) en court-circuit avec son instrumentation et une alimentation réduite

[Image: Transformateur en court-circuit avec instrumentation]

Le secondaire étant court-circuité, l’intensité du courant débité par le secondaire n’est limitée que par l’impédance interne ZS du transformateur qui est généralement très faible.
Une tension primaire nominale provoquerait la destruction du transformateur.
De ces mesures, on peut déterminer les valeurs caractéristiques du modèle suivantes :

• ZS ; à l’aide de ZS = U1cc / I2n
• RS ; à l’aide de RS = P1cc / I2cc^2
• XS ; à l’aide de XS = sqrt(ZS^2 − RS^2)

Démonstration :

• m·U1cc = RS·I2cc + jXS·I2cc + U2cc devient : m·U1cc = √(RS^2 + XS^2) · I2n
• La totalité de la puissance active est transmise au secondaire puis consommée par RS ; ( justification au paragraphe .5.2.3 (p.35) ;

5 Bilan de puissance du transformateur monophasé

5.1 Méthode directe de détermination du rendement

• Puissance absorbée : P1 = U1 I1 cos φ1
• Puissance utile : P2 = U2 I2 cos φ2
• η = P2 / P1

Il suffit donc de mesurer la puissance au primaire et au secondaire pour déterminer le rendement.

Inconvénient :
Cette méthode suppose une mise en charge du transformateur pour relever Pu et Pa.
Elle n’est donc applicable, sur plate-forme d’essais, qu’aux matériels de faible puissance.

5.2 Méthode des pertes séparées

Tel que décrit au paragraphe 3.3 (p. 27), l’ensemble des pertes mises en jeu dans le transformateur réel sont :

• Pertes cuivre : les pertes Joule des enroulements primaire et secondaire :
  p_j = R1 I1^2 + R2 I2^2
• Pertes fer : égales aux pertes par Hystérisis + pertes par courants de Foucault.

Figure 27 : Diagramme du bilan des puissances dans le transformateur réel

[Image: Diagramme du bilan des puissances]

Le rendement devient donc :
η = P2 / (P2 + p_j + p_f)

Selon la charge Zc, ΔU2, I2 et φ2 peuvent être déterminés et la puissance au secondaire P2 connue.

5.2.1 Modélisation des pertes fer

Les pertes dues aux effets magnétiques sont modélisables par les relations :

• p_hys = k f B_max avec η ≈ 2
• p_fouc = k' f^2 B_max^2

Avec :

• k et k’ des constantes physiques ;
• V le volume du circuit magnétique ;
• f la fréquence des signaux (et en particulier du flux) ;
• B_max la valeur maximale du champ magnétique ;

Or, on sait que le transformateur est un convertisseur qui fonctionne à flux forcé. Le flux maximum (et le champ magnétique maximum) dans le circuit magnétique est donc fixé par U1.

Conclusion : Les pertes fer ne dépendent que de f et de U1 ;
Le transformateur fonctionne a priori à fréquence constante, ces pertes sont donc proportionnelles au carré de la tension d’alimentation U1.
Il est donc possible de fixer un coefficient de proportionnalité homogène à une résistance fictive qui est la résistance Rµ du modèle :
p_f = U1^2 / Rµ

[Fin de l extrait fourni]

U.E. Physique et Energétique

Transformateur monophasé

Electricité 2ème année F. Garnier / A. Allouch / C. Dubegny

Remarques :

• (1) : le gros avantage de la méthode des pertes séparées est de permettre la mesure du rendement d’un transformateur de puissance élevée au point de fonctionnement nominal, sans qu’il soit nécessaire de lui fournir sa puissance nominale.
• (2) : Les pertes par effet Joule peuvent être aussi calculées à partir de la résistance des enroulements du transformateur : p = R1 I1^2 + R2 I2^2. La mesure des résistances R1 et R2 s’effectue par la méthode voltampèremétrique (montage aval car les résistances des enroulements sont faibles).

6 Eléments de réponse des exercices d’applications directes

i. Corrigé

• a. Les chiffres entre parenthèses indiquent l’ordre du tracé pour respecter la causalité :
• b. Les déphasages au primaire et au secondaire sont identiques (avec un transformateur parfait).
• c. u1 : réglable par la source d’alimentation. / u2 : réglable par la source d’alimentation ou le rapport de transformation. / i2 : réglable par la source d’alimentation, le rapport de transformation, la valeur d’impédance.

ii. Corrigé

• a. φ? = ? (textes non lisibles)

• b. (Texte partiellement lisible)

• c. Par identification avec la formule de Boucherot : p? ≈ ? (Texte partiellement lisible)

iii. Corrigé

• φ2 est le déphasage entre U2 et I2, que l’on retrouve entre RsI2 et l’horizontale et entre XsI2 et la verticale par des considérations géométriques ;

iv. Corrigé

• Λf ∝ ? (Texte partiellement lisible)
• Et on a : ? (Texte partiellement lisible)
• Donc Λfcc = 0,25 % Λfn (ou équivalent selon le document)

Rév : 09-0825121559

ESTACA, CREATEUR DE NOUVELLES MOBILITES

Séance Compétences visées

• n°6 Enoncer les conditions et conséquences d'un système triphasé équilibré direct
• Lier tension simple et tension composée avec le couplage
• Calculer les courants et puissances suivant le couplage
• n°7 Relier des éléments au réseau triphasé et en faire le bilan de puissance et courants (Théorème de Boucherot)
• Appliquer une compensation d'énergie réactive

NB : sauf rares exceptions, dans tout le cours, les expressions instantanées seront simplement écrites avec une notation minuscule sans référence explicite à la variable temporelle (par exemple v1(t) sera plutôt noté v1)

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III. Systèmes Triphasés

Les premiers réseaux électriques furent construits vers 1870-1880, à la suite de l’invention de la génératrice à courant continu par Zenobe Gramme en 1870.
Il s’agissait de réseaux continus sous une tension de 110 V, valeur adaptée aux lampes à arc utilisées à l’époque. Les dimensions d’un tel réseau atteignaient à peine le kilomètre, la dynamo génératrice était placée en son centre, d’où le nom de « centrale » qui est resté encore aujourd’hui. (1873 : transport en courant continu sur à peine 1800 mètres).
Vers 1890 apparurent les premiers réseaux alternatifs ; ceux-ci se généralisèrent à partir des années 1920 grâce au transformateur qui permet le transport de l’énergie sur de grandes distances sous haute tension.
En effet, à puissance égale, si la tension augmente, le courant diminue, ce qui minimise les pertes par effet Joule RI^2.
Ces réseaux alternatifs furent d’abord monophasés, diphasés puis enfin triphasés.
Avantages du triphasé pour la production, le transport et la distribution :

• le monophasé demande 2 fils pour transporter une puissance p ;
• le diphasé demande deux fils plus un gros fil pour transporter une puissance 2p ;
• le triphasé demande trois fils plus un petit fil (i1 + i2 + i3 = 0) pour une puissance 3p.

Figure 28 : principe des différents types de distributions électriques

La section d’un câble de distribution électrique dépend de l’intensité du courant qui y circule (et à tension constante, de la puissance).
En 1960, on normalisa les tensions et les fréquences ; ce fut donc la consécration du triphasé à la fréquence de 50 Hz pour le transport.

Quelques dates clés :

• 1870 : invention de la génératrice à courant continu par Zenobe Gramme
• 1878 : invention du transformateur par Lucien Gaulard
• 1891 : premier transport alternatif de 173 km (entre Lauffen et Francfort)
• 1920 : réseaux locaux en continu et en alternatif 25 Hz, 50 Hz, 60 Hz.

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1 Généralités – Définitions

1.1 Système triphasé

Un système triphasé est un système de trois grandeurs (d.d.p., f.e.m., intensités, …) sinusoïdales de même fréquence.
Le système est « équilibré » si les trois grandeurs ont même valeur efficace et sont déphasées régulièrement les unes par rapport aux autres dans une période.
Le système est « déséquilibré » si l’une au moins de ces deux conditions n’est pas réalisée.

v. Exercice d’applications directes

Connaissant la périodicité en angle d’une fonction sinusoïdale, quelle est la valeur du déphasage entre les grandeurs d’un système équilibré triphasé :

1.2 Réseau triphasé

Un réseau triphasé est un ensemble formé de 3 fils de lignes et d’un éventuel fil de neutre.
Il est défini, tel que représenté ci-dessous :

• v1, v2, v3 : les tensions simples, différences de potentiels fixes entre un des fils de ligne et neutre ;
• u12, u23, u31 : les tensions composées, différences de potentiels fixes entre deux fils de ligne ;
• i1, i2, i3 : les courants de ligne circulant sur un des fils de ligne.

Remarques :

• Un réseau est caractérisé par la valeur efficace d’une d.d.p. composée et de la fréquence des différentes d.d.p. (ex : réseau « domestique » 400 V à 50 Hz) ;

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2 Propriétés d’un Réseau triphasé équilibré

Le réseau électrique, ou distribution électrique, est l’ensemble des fils qui alimentent les charges électriques. En amont se trouve les sources électriques que sont les différents types de centrales (et éventuellement d’autres réseaux de distribution associées à des transformateurs et protections).

Figure 30 : tensions simples équilibrées

2.1 Système direct – indirect : tensions simples

Après avoir choisi une référence des phases (habituellement v1), il existe donc deux possibilités pour placer les 3 tensions simples (ou composées) d’un réseau équilibré, qui forment les systèmes direct ou indirect.

Le rôle de deux tensions sont inversées (v2 et v3) entre les deux systèmes.

• Figure 29 : lignes de distribution et grandeur physiques associées
• Figure 30 : tensions simples équilibrées

Le rôle des deux tensions est inversé (v2 et v3) entre les deux systèmes.

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3 Récepteur triphasé équilibré

3.1 Définitions :

3.2 Couplage étoile – triangle

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4 Courant et Puissances pour récepteur triphasé

4.1 Couplage étoile

4.2 Couplage triangle

4.3 Synthèse des puissances

4.4 Transformation étoile – triangle

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5 Mesures de puissances en triphasé

5.1 Mesures monophasées sur récepteur équilibré

5.2 Méthode des deux wattmètres

5.3 Appareils de mesure triphasée

5.4 Méthode de Boucherot en triphasé

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6 Eléments de réponse des exercices d’applications directes

NB : ce chapitre précise les réponses et notes associées aux exercices d’application directe.

U.E. Physique et Energétique

Systèmes triphasés

Electricité 2ème année F. Garnier / A. Allouch / C. Dubegny

Remarques :

• Si les vecteurs tournants représentant les trois d.d.p. défilent (dans le sens trigonométrique) :
  • Dans l’ordre 1, 2, 3 : le système (v1, v2, v3) est direct ;
  • Dans l’ordre 1, 3, 2 : le système (v1, v2, v3) est indirect ;
• Cet ordre a une application sur le sens de rotation des moteurs électriques triphasés (càd : inverser deux phases inverse le sens de rotation)
• L’appareil qui vérifie cette propriété des systèmes électriques (direct ou indirect) s’appelle un rotophase.
• La norme préconise de distribuer les tensions en système direct (et impose le même sens de rotation identique sur une distribution locale).
• Dans la suite du cours, on ne s’intéressera qu’au système direct.

vi. Exercice d’applications directes
Repérer les vecteurs de Fresnel correspondant au système direct sur la figure ci-dessous :
Figure 31 : Vecteurs de Fresnel des tensions simples d'un système direct
[Image: Vecteurs de Fresnel des tensions simples d'un système direct]

Remarque : Pour un réseau équilibré V1 + V2 + V3 = 0 ⇔ v1 + v2 + v3 = 0
Sens de rotation des vecteurs de Fresnel au cours du temps

2.2 Description des tensions composées

.2.2.1 Relation entre valeurs instantanées / vecteurs de Fresnel

Par définition, en appliquant l’additivité des tensions sur les potentiels des fils de distributions :

• u12 = v1 − v2
• u23 = v2 − v3
• u31 = v3 − v1

On en déduit les relations vectorielles suivantes :

• u12 = v1⃗ − v2⃗
• u23 = v2⃗ − v3⃗
• u31 = v3⃗ − v1⃗

Figure 32 : Exemple de loi des mailles pour v1, v2 et u12
[Image: Exemple de loi des mailles pour v1, v2 et u12]

vii. Exercice d’applications directes
Les vecteurs de Fresnel des tensions simples et composées d’un système équilibré direct sont représentés ci-dessus.
a. Retrouver à quel vecteur correspond celui en pointillé ;
b. Retrouver à quelle relation du paragraphe précédent correspond le triangle isocèle formé par les trois vecteurs ;
c. En déduire à quelle tension correspond le plus grand des vecteurs ;
d. En s’appuyant sur les propriétés du triangle, calculer la valeur de l’angle indiqué ;
e. Proposer alors une écriture des équations horaires des tensions composées correspondant à ces déphasages ;

Conclusion :

• Les trois vecteurs possèdent le même module ; les d.d.p. composées ont donc la même valeur efficace.
• Les d.d.p. composées sont déphasées de 2π/3 les unes par rapport aux autres.
• u12 + u23 + u31 = 0

Figure 34 : Vecteurs de Fresnel de tensions simples et composées
[Image: Vecteurs de Fresnel de tensions simples et composées]

.2.2.2 Relations entre valeurs efficaces

En reprenant la relation vectorielle précédente entre v1, v2 et u12, il est possible à partir de propriétés géométriques de trouver la relation suivante entre les valeurs efficaces :

• U = V √3

viii. Exercice d’applications directes
Faites la démonstration prouvant la relation précédente à l’aide de la figure (rappel : triangle isocèle, angle de π/6)

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3 Récepteur triphasé équilibré

3.1 Définitions

Un récepteur triphasé est un ensemble constitué de trois récepteurs monophasés.
Si les trois récepteurs monophasés sont identiques, le récepteur triphasé est équilibré.
Figure 36 : Récepteur triphasé ↔ 3 récepteurs monophasés
Il est possible de définir le courant par phase : ce sont les courants qui traversent les éléments (d’impédance Z) du récepteur (notation : j ou J).
Rappel : le courant en ligne sont les courants qui circulent dans les fils de ligne (notation : i ou I)

[Image: Récepteur triphasé et ses récepteurs monophasés]

3.2 Couplage étoile – triangle

Pour alimenter le récepteur triphasé, il faut le relier au réseau : ce qui s’appelle un couplage.
Il peut être couplé au réseau de deux manières différentes :

• En étoile (symbole : Y)
• En triangle (symbole : Δ)

Figure 35 : Relation vectorielle entre v1, v2 et u12
[Image: Relation vectorielle entre v1, v2 et u12]

3.2.1 Couplage étoile

Montage :

• Chaque récepteur a une borne reliée à chaque phase et l’autre commune au neutre.
  Objectif du couplage :
• La tension aux bornes d’un des récepteurs monophasés correspond à l’une des tensions simples
• uz = v
  Conséquence :
• Le courant qui traverse une impédance est le courant de ligne et sont identiques : J = I = V/Z
  [Image: Couplage étoile au réseau]

3.2.2 Couplage triangle

Montage :

• Chacune des bornes des récepteurs sont reliées à deux phases.
  Objectif du couplage :
• La tension aux bornes d’un des récepteurs monophasés correspond à l’une des tensions composées
• uz = u
  Conséquence :
• Le courant qui traverse une impédance n’est pas le courant de ligne : I ≠ J = U/Z
  Figure 38 : Couplage triangle au réseau
  Figure 37 : Couplage étoile au réseau

4 Courant et Puissances pour récepteur triphasé

4.1 Couplage étoile

4.1.1 Expressions des courants

Rappel : la distribution et le récepteur sont équilibrés.

En appliquant la loi d’Ohm aux bornes de chaque récepteur monophasé d’impédance Z, avec :

• Z : impédance du dipôle
• φ : déphasage (courant/tension) introduit par le dipôle

i1(t) = (V/Z) √2 sin(ωt − φ)
i2(t) = (V/Z) √2 sin(ωt − φ − 2π/3)
i3(t) = (V/Z) √2 sin(ωt − φ − 4π/3)

i1(t) + i2(t) + i3(t) = 0 ; d’où iN = 0

Les courants en ligne forment un système triphasé équilibré : le conducteur de neutre ne joue aucun rôle et pourrait être supprimé.

Remarques :

• Le réseau industriel comporte des récepteurs triphasés (usagers industriels généralement) et des récepteurs monophasés (usagers domestiques branches entre phase et neutre). Un tel réseau ne peut pas être rigoureusement équilibré, à cause notamment des usagers domestiques.
• En pratique, il ne faut donc pas supprimer le conducteur de neutre (pas de fusible sur ce conducteur). Dans un réseau de distribution d’énergie, le point neutre N est fréquemment relié à la terre, soit par une connexion directe d’impédance nulle, soit par une impédance qui est, en pratique, une réactance. Cette impédance aura pour effet de limiter le courant de défaut en cas de déséquilibre modéré ou franc (court-circuit). L’élévation du potentiel du neutre peut alors devenir dangereuse, mais sa détection permet d’opérer une manœuvre de coupure avant d’atteindre les valeurs jugées inadmissibles.
• Par-contre, il est impératif que les tensions du réseau restent le plus possible équilibrées, ce qui est obtenu grâce à :
  • une répartition judicieuse des usagers domestiques sur chacune des trois phases ;
  • des impédances de ligne faibles (les chutes de tension seront minimes).

4.1.2 Expressions des puissances

Sur une des phases du récepteur triphasé :
P_phase = V I cos φ
Q_phase = V I sin φ
S_phase = V I

Sur l’ensemble du récepteur triphasé :
P = 3 P_phase = 3 V I cos φ
Q = 3 Q_phase = 3 V I sin φ
S = 3 S_phase = 3 V I

Dans tous les cas : pf = cos φ = P_phase / S_phase = P / S

Démonstration :
Pour la phase 1 du récepteur triphasé, il s’agit d’une puissance en monophasé : P_mono1 = V1 I1 cos φ1
Le récepteur étant équilibré, on a la même expression pour chaque phase : P_mono = V I cos φ
Le théorème de Boucherot nous donne le droit de sommer les puissances des trois phases : pour le récepteur complet, on a donc : P = 3 P_mono = 3 V I cos φ
Or, nous avons établi : U = √3 V
Soit : U√3 = 3 V
Il est possible de dérouler la même démonstration pour les puissances réactives et apparentes.

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4.2 Couplage triangle

4.2.1 Expressions des courants

Expressions instantanées / équations horaires des courants de lignes
Rappel : la distribution est équilibrée.

En appliquant la loi d’Ohm aux bornes de chaque récepteur monophasé d’impédance Z avec :

• Z : impédance du dipôle
• φ : déphasage (courant/tension) introduit par le dipôle

j1(t) = (U/Z) √2 sin(ωt − φ + π/6)
j2(t) = (U/Z) √2 sin(ωt − φ − π/2)
j3(t) = (U/Z) √2 sin(ωt − φ − 7π/6)

En appliquant la loi des nœuds, on obtient les relations suivantes entre les courants :
i1 = j1 − j3
i2 = j2 − j1
i3 = j3 − j2

(D’où : i1 + i2 + i3 = 0)

Il s’agit donc d’une relation du même type qu’entre u et v, il est donc possible d’établir avec la même démonstration la relation suivante : I = J√3

4.2.2 Expressions des puissances

Sur une des phases du récepteur triphasé :
P_phase = U I cos φ
Q_phase = U I sin φ
S_phase = U I

Sur l’ensemble du récepteur triphasé :
P = U I √3 cos φ
Q = U I √3 sin φ
S = U I √3

Dans tous les cas : pf = cos φ (P_phase / S_phase = P / S)

Démonstration :
Pour la phase 1 du récepteur triphasé, il s’agit d’une puissance en monophasé : P_mono1 = U I cos φ1
Le récepteur étant équilibré, on a la même expression pour chaque phase : P_mono = U I cos φ
Le théorème de Boucherot nous donne le droit de sommer les puissances des trois phases : pour le récepteur complet, on a donc : P = 3 P_mono = 3 U I cos φ
Or, nous avons établi : P_phase = U I cos φ et S_phase = U I ; ainsi P = S cos φ, etc.

Cependant, si l’on regarde le même récepteur triphasé sous les deux couplages avec le même réseau, nous avons en revanche :
U = Z I et IΔ = IY et PΔ = 3 P_Y

La puissance consommée est trois fois plus grande en couplage triangle qu’en couplage étoile.

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4.3 Synthèse des puissances

Des deux derniers paragraphes, on remarque que les puissances peuvent être exprimées de la même manière quel que soit le couplage (mais n’ont pas forcément les mêmes valeurs).

Sur l’ensemble du récepteur triphasé :
P = U I √3 cos φ
Q = U I √3 sin φ
S = U I √3

Cependant, si l’on regarde le même récepteur triphasé sous les deux couplages avec le même réseau, nous avons en revanche :
U = Z I et IΔ = IY et PΔ = 3 P_Y
La puissance consommée est trois fois plus grande en couplage triangle qu’en couplage étoile.

D’où IΔ = 3 I_Y et PΔ = 3 P_Y

Il existe une relation plus générale appelée théorème de Kennelly (dont le résultat présenté ici est le cas particulier d’une charge triphasée équilibrée).

• [Figure 39 : Triangle des puissances]

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4.4 Transformation étoile – triangle

Si pour des besoins de modélisation, on désire transformer un récepteur triphasé équilibré couplé en triangle en récepteur triphasé équilibré couplé en étoile, il faut déterminer l’impédance équivalente entre les deux montages.

Z_Yeq = Z_Δ / 3 avec Z_Δ = U / I

Avec la démonstration suivante :
Z_Yeq = V / I = U / I√3 = Z_Δ / 3

Ce qui revient à l’observation précédente sur la comparaison des courants et des puissances. Il existe une relation plus générale appelée théorème de Kennelly (dont le résultat présenté ici est le cas particulier d’une charge triphasée équilibrée).

• [Figure 39 : Triangle des puissances] (référence à la figure)

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5 Mesures de puissances en triphasé

Un Wattmètre permet de mesurer la puissance active consommée par un dipôle. Il est constitué de deux circuits, l’un parcouru par le même courant i(t) que le dipôle, l’autre soumis à la même tension v(t) que le dipôle. Il indique : W = v(t) · i(t)

Ce qui est équivalent au résultat du produit scalaire v⃗ · i⃗.

5.1 Mesures monophasées sur récepteur équilibré

5.1.1 Mesure de la puissance active

En régime sinusoïdal :
W = v̄ · î = VI cos φ ; φ = cos−1(pf)
Mesure de la puissance active :
P = 3 × W

5.1.2 Mesure de la puissance réactive

Méthode du varmètre :
• W = U23 · I1 = UI cos( ... )
• Q = W√3

Remarques :

• neutre « artificiel » : en l’absence de neutre réel, on peut réaliser un neutre artificiel à l’aide d’un montage étoile de trois résistances identiques, ce qui permet de redéfinir des d.d.p. simples.

• [Figure 40 : Symbole du Wattmètre]

• [Figure 41 : Branchement du Wattmètre monophasé]

• [Figure 42 : Vecteurs de Fresnel des tensions et courants]

5.2 Méthode des deux wattmètres

• W1 = V_ll I_l cos(φ − 60°)
• W2 = V_ll I_l cos(φ + 60°)
• P = W1 + W2
• Q = √3 (W1 − W2)

Démonstration :

• W1 + W2 = V_ll I_l [cos(φ − 60°) + cos(φ + 60°)] = 2 V_ll I_l cos φ cos 60° = V_ll I_l cos φ
• W1 − W2 = V_ll I_l [cos(φ − 60°) − cos(φ + 60°)] = −2 V_ll I_l sin φ sin 60° = −√3 V_ll I_l sin φ
• Q = √3 (W1 − W2)

[Image: Branchement pour la méthode des 2 wattmètres]

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5.3 Appareils de mesure triphasée

L’apparition des appareils numériques de mesures triphasés a rendu peu à peu obsolète la méthode des deux wattmètres. Les appareils de mesure numérique sont capables de mesurer par eux-mêmes les grandeurs de tension, courant et déphasage et d’en déduire toutes les puissances associées.

• Figure 43 : Branchement pour la méthode des 2 wattmètres
• Figure 44 : pince wattmétrique monophasée
• Figure 45 : wattmètre triphasé

[Image: Branchement pour la méthode des 2 wattmètres]
[Image: pince wattmétrique monophasée]
[Image: wattmètre triphasé]

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5.4 Méthode de Boucherot en triphasé

De la même manière qu’en monophasé, il est possible d’utiliser la méthode de Boucherot en triphasé et de compenser la puissance réactive des récepteurs inductifs.

• Sauf en cas de besoin du neutre artificiel N’ créé par l’ensemble de condensateurs, il sera privilégié la solution en triangle (plus de puissance réactive compensée avec les mêmes condensateurs).
• Remarque : On utilise aujourd’hui des compensateurs statiques. Ce sont des dispositifs d’électronique de puissance qui asservissent le facteur de puissance à la valeur souhaitée, tout en éliminant les harmoniques de courant indésirables.

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6 Eléments de réponse des exercices d’applications directes

i. Corrigé : 2π/3
ii. Corrigé :
iii. Corrigé

a. [Texte illisible dans l’extrait fourni]
b. [Texte illisible dans l’extrait fourni]
c. [Texte illisible dans l’extrait fourni]
d. Dans le triangle isocèle :

• Le grand angle formé par les vecteurs et, par définition : 2π/3
• Les deux petits angles, connaissant la somme des angles dans un triangle, et leur égalité (triangle isocèle) : π/6
  e. u12(t) = U√2 sin(ωt − π/6)
  u23(t) = U√2 sin(ωt − π/2)
  u31(t) = U√2 sin(ωt − 7π/6)

iv. Corrigé

• Dans le petit triangle rectangle, la projection de la norme de V1 donne : U/2 = V cos(π/6)

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IV. Mise en forme du signal : Filtres actifs et ALI

L’amplificateur linéaire intégré (ou anciennement amplificateur opérationnel / AOP) est un composant du domaine dit de l’électronique analogique. Son rôle est le conditionneur dans la mise en forme du signal électrique en sortie de capteur pour le numériser et traiter ensuite.

• Le conditionneur peut comprendre plusieurs étages d’amplification et de filtres afin d’assurer différentes fonctions en vue de fournir un signal électrique fidèle et si possible linéaire à la grandeur physique mesurée.

• Différents types d’imperfections dans les fonctions attendues : bruit de fond, saturation, bande-passante, non-linéarité, non-adaptation des impédances.

• Remarque : le capteur et le CAN peuvent présenter aussi tout ou partie de ces défauts.

• Du point de vue de l’électronicien, il est possible d’utiliser en conception électronique l’association de transistors d’amplification de l’électronique analogique.

• Ce cours reste du point de vue ingénieur-système sur les fonctionnements de base à partir d’ALI.

• Mesurande (grandeur physique) -> Capteur

• Grandeur électrique image -> Conditionneur

• Signal électrique interprétable -> Convertisseur analogique-numérique

• Information numérique à traiter -> Informatique

• Le conditionneur peut comprendre plusieurs étages d’amplification et de filtres afin d’assurer différentes fonctions en vue de fournir un signal électrique fidèle et si possible linéaire à la grandeur physique mesurée.

• Remarque : le capteur et le CAN peuvent présenter aussi tout ou partie de ces défauts.

• Du point de vue de l’électronicien, il est possible aussi d’utiliser en conception électronique l’association de transistors d’amplification de l’électronique analogique.

• Ce cours restera sur un point de vue ingénieur-système et l’explication des fonctionnements de base à partir d’ALI.

IV. Mise en forme du signal : Filtres actifs et ALI (suite)

L’amplificateur opérationnel intégré (AOP) est utilisé notamment dans le cadre des filtres actifs et des asservissements.

1 Comportement d’un quadripôle
1.1 Quadripôle
1.2 Quadripôles en cascade et opérations sur diagramme de Bode
1.3 Notion de filtre

2 Associations de facteurs élémentaires
2.1 Facteur du 1er ordre (prérequis 1A)
2.2 Facteur gain constant
2.3 Facteur de type intégrateur-dérivateur
2.4 Facteur du 2ème ordre
2.5 Synthèse de méthode de tracé asymptotique de la courbe de gain

3 AOP et Filtres Actifs
3.1 Définition d’un filtre actif
3.2 Présentation de l’AOP
3.3 Principe de fonctionnement
3.4 Montages de base

4 AOP en fonctionnement non-linéaire
4.1 Principe de fonctionnement
4.2 Montages de base

5 Eléments de réponses aux exercices d’applications directes

ANNEXE A : axe logarithmique
ANNEXE B : détail des filtres 1er et 2ème ordre
ANNEXE C : Comportement en régime libre d’un 2nd ordre résonant
ANNEXE D : Modélisation d’un ALI réel en régime linéaire
ANNEXE E : Autres imperfections des AOP

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Note: Le document contient des images et schémas (par exemple, Branchement pour la méthode des 2 wattmètres; pince wattmétrique monophasée; wattmètre triphasé) qui ont été signalés ici pour référence visuelle. Si vous souhaitez que je les reproduise sous forme de légendes ou que j’en extraie des descriptions précises, dites-le et je les ajouterai sous forme de balises descriptives.

1 Comportement d’un quadripôle

1.1 Quadripôle

Un quadripôle est un système à quatre bornes de connexion électrique (contre-exemple : une résistance seule, qui est un dipôle).
Il va être défini une tension d’entrée entre deux bornes (E1 et E2), et une tension de sortie entre les deux autres bornes (S1 et S2).

Figure 46 : limite en pointillé d’un quadripôle (filtre CR vu en 1A ; exemple résolu tout au long du chapitre)
[Image: Limite en pointillé d’un quadripôle]

La méthode générale de calcul pour caractériser le comportement d’un quadripôle sous la forme d’un filtre est toujours composé des étapes suivantes :

1.1.1 Utilisation des lois physiques de l’électricité pour exprimer la transmittance

L’ensemble des éléments doivent être linéaires (et invariant dans le temps) pour faire une analyse harmonique du comportement.
Une analyse harmonique signifie que l’on recherche les expressions analytiques suivant la pulsation ω (en rad/s) du signal sinusoïdal en entrée en tension
u_e(t) = U_e√2 sin(ωt), qui résultera en un signal sinusoïdal de sortie en tension
u_s(t) = U_s√2 sin(ωt + φ). On définit ainsi la « fonction de transfert » ou « transmittance » d’un quadripôle le rapport des amplitudes complexes de la tension de sortie sur la tension d’entrée :
T(jω) = U_s / U_e

Exemple résolu : application d’un pont diviseur de tension d’où U_s / U_e = …

Nous obtenons nécessairement une forme de fraction simple de polynômes en (jω) au numérateur et dénominateur à coefficients réels :
T(jω) = (a0 + a1 (jω) + a2 (jω)² + …) / (b0 + b1 (jω) + b2 (jω)² + …)

Il est impératif d’en obtenir les formes factorisées suivantes (à coefficients réels, donc de 1er et 2e ordre) qui feront apparaître des valeurs caractéristiques de leur comportement.

T(jω) = K · (jω/ω0)^α · (∏{k=1}^{p} (1 + jω/ω_ck)^{±1}) · (∏{k=1}^{q} (1 + (jω/ω_nk))^{±1}) (forme factorisée)

Rmq :

• Chacun des facteurs pouvant être au numérateur ou dénominateur (puissance 1 ou -1)
• Par exemple : si a0 = 0 et b0 ≠ 0, alors α = 1 car il est possible de mettre en facteur (jω) une fois au numérateur, et K = a1/b0 afin d’obtenir la forme en (1 + …) des facteurs ;

Important : valeurs caractéristiques à identifier

Il devient alors possible d’identifier trois types de facteurs : K · (jω/ω0)^α ; le gain constant K et ω0 la pulsation de coupure des 0 dB du facteur α ; et les facteurs du 2e ordre avec leur ω_n et leur Q, etc.

Pour un facteur du 1er ordre :

• La pulsation de cassure des asymptotes notée ω_c ; pulsation à partir de laquelle ce facteur modifie le comportement du filtre.

Pour un facteur du 2e ordre :

• La pulsation naturelle ω_n ;
• Le facteur de qualité Q ;

Exemple résolu : mise sous forme de fraction simple en multipliant le numérateur et le dénominateur par ω_n. d’où
T(jω) = … (forme factorisée)

1.1.2 Résultat de l’analyse harmonique

Pour un signal sinusoïdal en entrée avec une pulsation ω_i (et donc respectivement la même pulsation en sortie), on a l’expression suivante des expressions complexes :
U_e = U_e · e^{jθ_e} et respectivement U_s = U_s · e^{jθ_s} en sortie.

D’où, le calcul du module de T(jω) avec ω = ω_i à cette pulsation donne le rapport des valeurs efficaces (ou des amplitudes) :
|T(ω = ω_i)| = |U_s| / |U_e| — dit gain entrée-sortie ;

Cette valeur est un facteur multiplicatif entre les amplitudes (ou les valeurs efficaces) d’entrée et de sortie pour un signal à cette pulsation particulière :

• d’amplification lorsqu’il est supérieur à 1 ; le signal de sortie est alors de plus grande amplitude que le signal d’entrée,
• d’atténuation lorsqu’il est inférieur à 1 ; le signal de sortie est alors de plus petite amplitude que le signal d’entrée.

Exemple résolu : en repartant de l’exemple précédent, à la pulsation ω_i = ω_d, le gain vaut : |T(ω_i)| = …
À cette pulsation, la tension en sortie est atténuée.

Le calcul de l’argument de T(ω) à cette pulsation donne le déphasage entre les signaux :
arg(T(ω_i)) = θ_s − θ_e

Exemple résolu : à la pulsation ω_i = ω_d, le déphasage vaut : …
Soit, au final : T(jω) = (Us/UE) · e^{j(φ_s − φ_e)} (résumé).

1.1.3 Représentation graphique : Diagramme de Bode

Chacune des deux valeurs précédentes évoluent en fonction de la pulsation ω des signaux sinusoïdaux, ce qui donne le tracé possible des deux courbes suivantes :

• La courbe de gain « linéaire » : |T(jω)| → gain
• La courbe de phase : φ(ω) = arg(T(jω))

Remarque : comme le gain dépend de polynôme en ω, celui-ci peut rapidement varier : il sera alors choisi une expression en décibel du gain avec une échelle des abscisses logarithmique.

Courbe de gain :
G_dB(ω) = 20 log10 |T(jω)|

Courbe de phase :
φ(ω) = arg(T(jω))

La courbe de phase est exprimée en degrés ou en radians.

Exemple résolu :
G_dB(ω) = 20 log10 (|T(jω)|)
φ(ω) = … (illustration typique)

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1.2 Quadripôles en cascade et opérations sur diagramme de Bode

Les quadripôles Q1 et Q2 sont considérés en cascade lorsque la sortie de Q1 est reliée à l’entrée de Q2 de tel sorte que leur comportement est inchangé par le branchement (i.e. que chaque quadripôle réponde de manière identique que lorsqu’ils étaient indépendants).

On a alors : U_1s = U_2e que l’on renommera U_int ;
Il est possible de déterminer la fonction de transfert de l’ensemble :
Par définition T = U_2s / U_int soit T = (U_2s / U_int) × (U_int / U_1e), donc T = T_2 × T_1

Figure 48 : Exemple de diagramme de Bode
[Image: Exemple de diagramme de Bode]

i. Exercice d’applications directes :

• Déterminer l’expression du gain G (en dB) de T en fonction de G1 et G2, les gains (en dB) de T1 et T2 (en exploitant la propriété des produits dans un logarithme) ;
• Déterminer l’expression de l’argument φ de T en fonction de φ1 et φ2, les arguments de T1 et T2 (en exploitant la propriété des produits dans un argument) ;

Remarque : ce résultat est identique mathématiquement sur la forme factorisée de la transmittance :
T(jω) = K · (jω/ω0)^α · (∏{k=1}^{p} (1 + jω/ω_ck))^{±1} · (∏{k=1}^{q} (1 + jω/ω_nk))^{±1}

Déterminer l’expression du gain en fonction de K, (jω/ω0)^α et des p facteurs du 1er ordre et des q facteurs du 2e ordre :

CONCLUSION : Pour n’importe quelle fonction de transfert, il faut et il suffit de connaître les diagrammes de Bode de chaque forme factorisée élémentaire listées ci-dessous et d’additionner les comportements (cf p.69) pour conclure sur le comportement global de filtre correspondant ci-après.

• K · (jω/ω0)^α
• (1 + jω/ω_c)^{±1}
• (jω/ω_n + 1)^{±1}
• … (autres formes factorisées mentionnées dans le cours)

Exemple résolu :

G_dB(ω) = 20 log10 (|T(jω)|)
φ(ω) = arctan(ω/ω_n) – arctan(ω/ω_c) (illustration typique)

Il est possible d’exploiter les résultats de cours pour 20 log10 (ω/ω_d) … (rappels résultats de cours 1A) et sommer les deux effets.

[Images et schémas]

• Figure 46 : limite en pointillé d’un quadripôle (filtre CR vu en 1A ; exemple résolu tout au long du chapitre) → [Image: Limite en pointillé d’un quadripôle]
• Figure 47 : Relation entre les tensions sinusoïdales pour une valeur spécifique de pulsation → [Image: Relation entre les tensions sinusoïdales pour une valeur spécifique de pulsation]
• Figure 48 : Exemple de diagramme de Bode → [Image: Exemple de diagramme de Bode]

U.E. Physique et Energétique

Filtres Actifs et ALI

1.3 Notion de filtre

1.3.1 Définitions des filtres

Le rôle d’un filtre est de réaliser le tri ou la séparation en fonction de la fréquence. Il est ainsi défini des bandes de fréquences où son comportement diffère. Il est généralement distingué deux types de bande de fréquence :

• Celle où le gain est constant à une valeur maximale : on dit que le filtre laisse « passer » ou amplifie les signaux sinusoïdaux avec ces fréquences ;
• Celle où le gain décroit rapidement vers 0 (− en dB) : on dit que le filtre « coupe » ou atténue les signaux sinusoïdaux avec ces fréquences ;
  Les gabarits sont des bornes dans lesquelles doit évoluer la courbe de gain qui donnent des critères de cahier des charges pour évaluer la performance des filtres.
  Dans ce chapitre, avec les notions à notre disposition, ne seront présentés que les filtres dits de Butterworth (qui ne sont pas les plus performants, mais facilement réalisable en électronique analogique).

1.3.2 Classifications

1.3.3 Applications

Les domaines de prédilection d’utilisation des filtres sont :

• les télécommunications (accord d’un récepteur radio…) ;
• l’acoustique (ex. : haut-parleur de chaîne Hi-Fi : séparation des graves, des médiums, des aigus…) ;
• l’élimination des perturbations dans les circuits électriques (courants faibles ou courants forts), l’application qui nous intéresse ici ;

1.3.4 Imperfections des filtres réels

Dans la bande passante, un filtre idéal transmet le signal sans atténuation ni déphasage. Ce n’est pas exactement le cas pour un filtre réel qui présente trois imperfections :

• L’amplification dans la bande passante n’est pas strictement constante ;
• L’atténuation dans la bande coupée n’est pas rejetée à −∞ (les fréquences ne sont pas complètement éliminées) ;
• La transition entre la bande passante et coupée se fait progressivement ;
  Différents types de méthode de conception de filtres pour respecter un cahier des charges de filtres réels existent (mais ne seront pas étudiés dans ce chapitre).
  Dans le domaine des fréquences éliminées, plus la pente de la courbe est élevée, plus le filtre est efficace.

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2 Associations de facteurs élémentaires

2.1 Facteur du 1er ordre (prérequis 1A)

Forme polynomiale du 1er ordre en (jω) au numérateur ou dénominateur :
  




ii. Exercice retours sur les prérequis issus de 1A :

• Donner l’expression en module et en phase du 1er ordre de la forme 𝛉(ω) ;
• En rappeler le comportement en basses et hautes fréquences du gain et de la phase ;
• En déduire l’expression des asymptotes de la courbe de gain et son tracé ;

2.2 Facteur gain constant

Forme : 𝐾 ∈ ℝ∗

iii. Exercice d’applications directes :
Le diagramme de Bode d’une fonction de transfert H(jω) est de la forme ci-dessous :
[Image: Diagramme de Bode d'une fonction de transfert H(jω)]
Cette fonction de transfert est mise en cascade avec un facteur gain constant K de telle sorte que l’ensemble est de la forme :
T(jω) = K · H(jω) avec K = 100

• La courbe de gain du facteur K dépend-elle de la pulsation ω ?
• Que vaut K en décibels ?
  20 log K = __________ dB
• Tracer sur le diagramme ci-dessus la courbe de gain de T(jω) ;
• Que vaut la phase du facteur K ? En déduire la courbe de phase de T(jω) ?

2.3 Facteur de type intégrateur-dérivateur

Forme : (jω / ωd)^α
en prenant en exemple l’intégrateur simple (α = -1) :
T(jω) = 1 / (jω)
Ce qui donne les expressions des courbes de gain et de phase suivantes :
G_dB(ω) = 20 log ω0dB − 20 log ω
φ(ω) = −π/2
Ce qui correspond à une droite de pente de -20 dB par décade coupant l’axe des abscisses (donc pour un gain de 0 dB) à la pulsation ω0dB et une phase constante (cf figure ci-contre).

[Image: Diagramme de Bode de l'intégrateur]

iv. Exercice d’applications directes
Appliquer le même raisonnement pour déterminer et tracer les courbes de gain et de phase du dérivateur de forme générale suivante :
T(jω) = (jω / ωd)^α
Il est aussi possible d’utiliser les propriétés mathématiques de la fonction logarithmique et de l’argument d’un nombre complexe d’une fonction inverse.

2.4 Facteur du 2ème ordre

2.4.1 Caractéristiques de la fonction de transfert

Il est recherché à caractériser la transmittance entre la tension d’entrée ue(t) et la tension de sortie us(t) du circuit RLC suivant :
[Schéma : Circuit filtre passif RLC série]
En analyse harmonique (tension en régime sinusoïdal permanent de pulsation ω), il vient la relation suivante (pont diviseur de tension) :
Us = [Z_C / (R + Z_L + Z_C)] · Ue
Soit la transmittance T(jω) :
Us/Ue = 1 / [1 + jωRC + (jω)^2LC]
Ce qui donne la transmittance Us/Ue = 1 / [1 + jωRC + (jω)^2LC]

[Image: Circuit filtre passif RLC série]

U.E. Physique et Energétique

Filtres Actifs et ALI

Il vient la forme normalisée de 2nd ordre au dénominateur :
I(jω) = 1 / [1 + (1/Q) · jω/ωn + (jω/ωn)^2]

En identifiant : ωn = 1/√(LC) et Q = (1/R)√(L/C)

• ωn : la pulsation naturelle (en rad/s)
• Q : le facteur de qualité (sans unité)

Remarque : si Q ≤ 1/√2, le polynôme peut se factoriser en deux 1er ordres (cf Td4 ex1).

Preuve : forme d’un polynôme du 2nd ordre en jω

• ωn : (ωn)^2 / (Q) et ωn^2 etc. (détails ci-dessous)

Qui est la forme canonique d’un polynôme en (jω) dont l’expression est une identité remarquable factorisable de type a^2 − b^2 et seule si ωn^2 ≤ (ωn/(2Q))^2 ≤ 1 ?

• 2.4.2 Étude asymptotique de la courbe de gain

L’expression de la transmittance d’un second ordre au dénominateur donne les expressions du gain (en décibels) :
T(jω) = 1 / [1 − (ω^2/ωn^2) + j (ω/(Q ωn))]

GdB(ω) = −20 log10|T(jω)| = −20 log10√( … ) (dépend de la magnitude)

et de la phase : (formule en arc tangente valable uniquement pour Re(z) > 0)

arg T(jω) = −π/2 + arctan( … )

Cette expression possède deux comportements spécifiques en haute et basse fréquence (que l’on peut retrouver par comportement équivalent de l’inductance et de la capacité).

Comportement en basses fréquences :
Mathématiquement, l’étude du comportement en basse fréquence revient à exprimer l’équivalent d’un polynôme autour de 0 (degré le plus bas) :
U.E. Physique et Energétique

Filtres Actifs et ALI

Electricité 2ème année F. Garnier / A. Allouch / C. Dubegny 66 / 107

U.E. Physique et Energétique

Filtres Actifs et ALI

Electricité 2ème année F. Garnier / A. Allouch / C. Dubegny 67 / 107

La courbe de gain tangente une droite : l’asymptote horizontale à 0 dB.
lim ω→0 arg(T(jω)) = 0 rad

Interprétation physique : en allant vers les basses fréquences, la capacité se comporte de manière équivalente à un circuit ouvert : il n’y a pas de courant et de chute de tension dans la résistance et l’inductance et on obtient Vs ≈ Ve.

Comportement en hautes fréquences :
Mathématiquement, l’étude du comportement en haute fréquence revient à exprimer l’équivalent d’un polynôme autour de +∞ (degré le plus haut) :
|T(jω)| ~ const / ω^2 → décroissant, et la phase s’approche de −π rad

Interprétation physique : en allant vers les hautes fréquences, la capacité se comporte de manière équivalente à un circuit fermé ; il y a donc une tension équivalente pour un court-circuit : Vs ≈ 0.

lim ω→∞ arg(T(jω)) = −π rad

2.4.3 Comportement résonant

Entre la basse et la haute fréquence, autour de la pulsation naturelle, il est possible de trouver 3 comportements possibles :

• Q < 1/√2 : transition par une asymptote de -20 dB/dec (visible si les pulsations de la forme factorisée sont très éloignées ; cf Td4 ex1) ;
• 1/√2 ≤ Q ≤ 1/√2 sans maximum : transition régulière du gain (cf Figure 51 ci-dessous) ;
• Q > 1/√2 avec maximum : comportement résonant (cf Figure 51 ci-dessous).

On trouve le comportement résonnant sur la courbe de gain en identifiant un maximum du module de la transmittance :

|T(jω)| = [√(ω_r^2) / (ω_n^2 - ω^2)2] ?

La pulsation de résonance ωr = ωn√(1 − 1/(2Q^2)) (soit ωr ≈ ωn lorsque Q est grand)

Le pic sur le diagramme du gain s’appelle donc la résonance : si l’amplitude de la grandeur en entrée est imposée autour de cette pulsation en régime sinusoïdal, la grandeur en sortie aura alors une amplitude plus élevée.

La largeur du pic de résonance Δω = ωsup − ωinf est définie par l’écart entre les pulsations ωsup et ωinf ; il y a par définition à ces pulsations une diminution de 3 dB du gain par rapport à la valeur du gain maximal Gmax (cf Figure 51).
Cette largeur Δω, appelée bande passante à -3 dB, est liée au facteur de qualité par :
Q = ωn / Δω

Plus le facteur de qualité est élevé, plus le pic est étroit en fréquence pour une fréquence naturelle donnée.

Figure 51 : Diagrammes de Bode d'un deuxième ordre passe-bas pour différents facteurs de qualité
ωn
ωinf ωsup
Gmax
Gmax − 3dB
ωr
Q

[Image: Diagramme de Bode - Diagrammes de Bode d'un deuxième ordre passe-bas pour différents facteurs de qualité]

2.5 Synthèse de méthode de tracé asymptotique de la courbe de gain

A RETENIR :

• 1. Mettre sous forme factorisée et identifier les pulsations ;
• 1. Placer les pulsations caractéristiques dans l’ordre croissant sur l’axe des abscisses ;
• Présence d’un intégrateur-dérivateur :
  • 3. Commencer par placer et tracer la droite correspondante ;
• Absence d’un intégrateur-dérivateur :
  • 3. Commencer par une asymptote horizontale à 0 dB (cas de tous les 1er et 2ème ordre en basses fréquences) ;
    Puis, dans tous les cas :
• 1. Ajouter 20 log K à la position de basse fréquence ;
• 1. Changer les pentes successivement (± 20 dB/dec pour un 1er ordre ou ± 40 dB/dec pour un 2ème ordre) suivant la pulsation de cassure rencontrée.

v. Exercice d’application directe :
Terminer l’exemple résolu du cours en traçant le diagramme du gain ;
Placer le point correspondant au résultat trouvé à la pulsation ωc §.1.1.2 p.58
En déduire le type de filtre correspondant ;

---

3 AOP et Filtres Actifs

3.1 Définition d’un filtre actif

Un filtre actif est un filtre qui possède un apport d’énergie extérieur au signal d’entrée qui permet d’avoir des amplifications supérieures à 0 dB (alors que les filtres passifs sont systématiquement à 0 dB ou moins ; sauf localement en cas de résonance).

Pratiquement, les filtres passifs sont donc constitués d’éléments passifs n’apportant pas d’énergie (tels que résistances, inductances et capacités), alors que les filtres actifs possèdent en plus un circuit supplémentaire et nécessitent d’être alimentés : il s’agit principalement dans le domaine analogique du composant nommé amplificateur opérationnel (AOP) ou amplificateur linéaire intégré (ALI).

3.2 Présentation de l’AOP

L’étude se limitera à la modélisation des AOP dit parfait. Il sera abordé quelques imperfections de fonctionnement dans le cours, et le reste en TP de semestre 2.

Les Amplificateurs opérationnels sont des circuits intégrés analogiques apparus dans les années 60 (1965 exactement) qui ont permis le développement des circuits électroniques analogiques.

3.2.1 Utilisation :

On utilise surtout les Amplificateurs opérationnels pour effectuer des opérations linéaires comme :

• l’amplification d’une tension
• la combinaison linéaire de plusieurs tensions
• la réalisation de fonctions mathématiques comme la dérivation, l’intégration.

On les utilise également pour effectuer des opérations non linéaires comme :

• la fonction comparaison (à un ou deux seuils) ; abordée dans la section 4.

3.2.2 Symbole :

Figure 52 : Symbole d'un ALI

[Image: Symbole d'un ALI]

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Filtres Actifs et ALI

Electricité 2ème année F. Garnier / A. Allouch / C. Dubegny

3.2.3 Propriétés importantes de l’amplificateur opérationnel parfait

• Les courants d’entrée sont nuls (la résistance entre les entrées E+ et E- ou « résistance d’entrée différentielle » est infinie).
• La résistance de sortie est nulle (il n’y a pas de chute de tension en sortie suivant le courant délivrée en sortie).
• La tension différentielle d’entrée vd = v+ - v- est négligeable.

3.3 Principe de fonctionnement

3.3.1 Mise en œuvre
« Une réaction négative ou contre-réaction (c’est-à-dire un bouclage de la sortie S sur l’entrée inverseuse E-) est indispensable pour qu’un amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire ».

Dans ce cas :
Dans le domaine linéaire (c’est-à-dire ≤ la tension d’alimentation vcc), la tension différentielle d’entrée vd = ε est négligeable devant toutes les autres tensions du circuit.
Remarque : on adoptera la notation ε pour vd, avec ε ≈ 0 en fonctionnement linéaire uniquement.

3.3.2 Condition de fonctionnement en régime linéaire
Un moyen simple de savoir si un amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire consiste à vérifier s’il y a bien réaction (par un composant ou un simple fil) de la sortie S vers l’entrée inverseuse E-.
La présence de deux entrées permet d’envisager deux structures d’amplificateur suivant que les signaux seront appliqués sur :

• l’entrée E- : on parle alors d’amplificateurs inverseurs
• l’entrée E+ : on parle alors d’amplificateurs non-inverseurs

3.3.3 Méthode d’étude des amplificateurs opérationnels en régime linéaire
1- Nature de la stabilité AOP en régime linéaire (présence d’une contre-réaction)
2- Méthode de calcul Utilisation de théorème de Millman, lois de Kirchoff, etc.
3- Conduite du calcul

• Expression du potentiel en E+ et/ou en E-
• Relations fondamentales pour simplifications : ε ≈ 0 (et donc v+ ≈ v-), i+ ≈ 0 et i- ≈ 0 ;
  4- Présentation du résultat
• Expression de la fonction de transfert : Vs / Ve
• Expression de la relation entrée-sortie : vs = f(ve)
  5- Vérification - Signal d’entrée en E- : montages inverseurs
• Signal d’entrée en E+ : montages non-inverseurs

3.4 Montages de base
Il est proposé ici d’étudier les montages de bases, à partir de la méthode précédemment décrite, en prenant les composants suivants pour les applications numériques :

• R1 = 100 kΩ ; R2 = R = 20 kΩ ; C = 50 nF ; Vcc = ± 15 V
• Signal d’entrée (ve = v1 = v2) : tension triangulaire de ±1V et de période 2 ms ;

3.4.1 Montage suiveur

1- Nature de la stabilité :
La sortie est directement bouclée sur l’entrée par un fil : il y a bien contre-réaction.
2- Méthode de calcul :
On exploite la loi des mailles : vs = ve – ε ;
3- Conduite du calcul :
vi. Exercice d’applications directes

• A partir des propriétés de l’AOP en régime linéaire, simplifiez l’expression précédente ;
• Complétez alors le graphique en représentant la courbe de vs ;
• Justifier le nom du montage ;

[Schéma: Montage suiveur]

• Graphique associé (tension vs temps ou vs en fonction de ve) :
  [Image: Graphique tension vs temps (montage suiveur)]

3.4.2 Montage amplificateur inverseur

1- Nature de la stabilité :
La sortie est bouclée sur l’entrée par l’intermédiaire de la résistance R2 : il y a bien contre-réaction.
2- Méthode de calcul :
On exploite le théorème de Millman au potentiel v- : v- = (Ve/R1 + Vs/R2) / (1/R1 + 1/R2)
3- Conduite du calcul :

• On peut utiliser v+ = 0 V et v- – v+ = ε et ε ≈ 0 et i- = 0 A ;
  d’où v- ≈ 0 V ; ce qui simplifie le calcul précédent en :
  Ve/R1 + Vs/R2 = 0
  4- Présentation du résultat
  Vs/Ve = - (R2 / R1)

[Schéma: Montage amplificateur inverseur]

3.4.3 Montage amplificateur non-inverseur

vii. Exercice d’applications directes
En vous inspirant de l’étude précédente, faites l’étude en 5 étapes du montage :

[Schéma: Montage amplificateur non-inverseur]

3.4.4 Montage soustracteur

1- Nature de la stabilité : contre-réaction via la résistance R2 ;
2- Méthode de calcul : pont diviseur de tension sur v+ et théorème de Millman sur v- ;
3- Conduite du calcul : à partir de v+ = v- ;
4- Présentation du résultat ; expression de la tension de sortie vs :
Vs = (R2 / R1) (v2 - v1)
5- Vérification : vérifier le signe associé pour chacun des signaux d’entrée par rapport à l’entrée connectée correspondante :

[Schéma: Montage soustracteur]

3.4.5 Montage intégrateur (inverseur)

Remarque : le montage en l’état sur un AOP réel n’est pas fonctionnel.

• Étude temporelle : le signal d’entrée est quelconque (ex : carré)
  Objectif : obtenir vs = f(ve)
  Loi des mailles : vs(t) + vR(t) + ve(t) + vR(t) + ε(t) = 0
  Loi d’ohm : vR(t) = R · i(t)
  Loi de comportement de la capacité : i(t) = C dvc(t)/dt
  Soit :
  vs(t) = - (1/(R C)) ∫_0^t ve(t) dt + vs(0^+)

• Étude harmonique : le signal d’entrée est sinusoïdal, le circuit est en régime permanent ;
  Objectif : obtenir Vs / Ve
  Théorème de Millman en sinusoïdal :
  v- = (Ve / R1 + Vs / ZC) / (1/R1 + 1/ZC)
  Soit :
  T = Vs / Ve = - 1/(j ω R C) (avec ZC = 1/(j ω C))
  On retrouve l’expression d’une transmittance d’un filtre passif.

[Schéma: Montage intégrateur (inverseur)]

3.4.6 Montage dérivateur (inverseur)

[Schéma: Montage dérivateur (inverseur)]

Notes

• Remarque générale pour les montages : les formules et résultats ci-dessus sont donnés dans le cadre des hypothèses du régime linéaire et d’entrées réalistes. Les valeurs numériques (R1, R2, C, Vcc) et les traces temporelles ou fréquentielles dépendent des choix spécifiques du problème.

[Schéma: Diagrammes et montages divers]

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Remarque : le montage en l’état sur un AOP réel n’est pas fonctionnel.

• Etude temporelle : le signal d’entrée est quelconque (ex : triangulaire)

• Objectif : obtenir vs = f(ve)

• Loi des mailles :  =  +  +  et  +  + 𝜀? = 

• Loi d’ohm :  =  ⋅ 

• Loi de comportement de la capacité : i(t) = C d v_C(t)/dt

• Soit :

  •  = −
  •  
  • 

• Etude harmonique : le signal d’entrée est sinusoïdal, le circuit est en régime permanent ;

  • Objectif : obtenir Vs / Ve
  • Théorème de Millman en sinusoïdal : [équations illisibles]
  • Soit : [équation illisible]
  • On retrouve l’expression d’une transmittance d’un filtre passif.

---

4 AOP en fonctionnement non-linéaire

Il a été présenté dans la section précédente le fonctionnement avec contre-réaction qui avait pour conséquence que l’AOP était en régime linéaire. En débranchant cette contre-réaction ou en étant en réaction positive (branchement sur l’entrée non-inverseuse E+), l’AOP va fournir des tensions de sorties directement égales à la tension de saturation, c’est-à-dire l’alimentation : l’AOP est dit en régime saturé.

4.1 Principe de fonctionnement

• 4.1.1 Conditions de fonctionnement en régime saturé

  • L’amplificateur opérationnel ne présente pas de réaction. Il est donc monté en boucle ouverte. (BO).
  • L’amplificateur opérationnel présente une réaction positive (bouclage de la sortie S sur l’entrée E+).
  • L’amplificateur opérationnel présente une contre-réaction (régime linéaire) mais l’amplitude du signal d’entrée est trop grande (cf TD AOP en régime linéaire saturé).
  • En régime saturé, la tension de sortie vs se verrouille à l’un des deux niveaux : ±vsat ;

• 4.1.2 Caractéristiques de l’AOP en régime non-linéaire

  • L’impédance d’entrée est infinie, les courants d’entrée sont donc nuls : i+ = 0 et i- = 0
  • La tension différentielle vd n’est plus négligeable ( ≠ 𝜀 ) et on a :
    • Si vd > 0 alors vs = + vsat ;
    • Si vd < 0 alors vs = - vsat ;

• 4.1.3 Méthode d’étude des amplificateurs opérationnels en régime saturé

  1. Nature de la stabilité
     AOP en régime non-linéaire (présence d’une réaction positive ou BO)
  2. Méthode de calcul
     Utilisation de théorème de Millman, lois de Kirchoff, etc.
  3. Conduite du calcul
     • Expression de vd en fonction de ve et des composants
     • Etude du signe de vd en fonction de l’entrée
  4. Présentation du résultat
     • Tracé de la caractéristique de transfert vs = f(ve)
     • Chronogramme de vs et ve (ex de TP : multivibrateur)
  5. Vérification
     • Signal d’entrée en E- : montages inverseurs
     • Signal d’entrée en E+ : montages non-inverseurs

---

4.2 Montages de base

Il est possible de trouver les schémas avec un fonctionnement similaire mais en non-inverseur

• 4.2.1 Comparateur (inverseur) à 1 seuil
  [Image: Comparateur (inverseur) à 1 seuil]

  Valeurs de ve: -∞ | +∞
  Avec v- = ve et v+ = vref : signe de vd

  • v+ > v- donc +
  • v+ < v- donc -

  Valeurs de vs en sortie: +Vsat | -Vsat

• ix. Exercice d’applications directes
  À partir du tableau, compléter la caractéristique de transfert ci-dessus à droite.

• 4.2.2 Comparateur (inverseur) à 2 seuils (ou à hystérésis)
  Voir exercice de TD
  [Image: Comparateur à 2 seuils]

---

5 Eléments de réponses aux exercices d’applications directes

i. Corrigé
G = G1 + G2 et φ = φ1 + φ2
[Équations longues et contenu détaillé non reproduits ici]

ii. Corrigé
|T(jω)| = 1 / sqrt(1 + (ω/ωc)^2] et arg(T(jω)) = − arctan(ω/ωc)
Comportement du gain en BF : 1
Comportement de la phase en BF : lim ω→0 arg(T(jω)) = 0 rad
Comportement de la phase en HF : lim ω→∞ arg(T(jω)) = −π/2 rad
En BF, le gain est équivalent à 1 constant, soit 0 dB (droite horizontale).
En HF, le gain est équivalent à ωc/ω, soit une décroissance de -20 dB/dec sur une échelle log.
Cf courbe Figure 48 : Exemple de diagramme de Bode

iii. Corrigé
Pas de changement de gain avec la variation de la pulsation
+20 log K = +20 log 100 = +40 dB

iv. Corrigé
Calcul du gain en décibel et d’argument complexe :
20 log ω − 20 log ωd et + π rad (?)
En ω = ωd, l’asymptote coupe les 0 dB ; la pente est de +20 dB / décade ;

v. Corrigé
Il s’agit d’un filtre passe-haut.

vi. Corrigé

• vs = Ve
• Même courbe
• Le signal de sortie « suit » le signal d’entrée : ce montage sert principalement à s’affranchir de l’influence des impédances d’entrée et sortie entre deux montages d’électroniques.

vii. Corrigé
1- Contre-réaction par R2
2- Pont diviseur de tension
3- v- = v+ car ε négligeable
4- v_s / v_e = 1 + R2/R1
5- Entrée non-inverseuse, fonction de transfert à gain positif : résultat cohérent

viii. Corrigé
v2 est associée à l’entrée non-inverseuse, signe positif, v1 est associée à l’entrée inverseuse, signe négatif : résultat cohérent.

ANNEXE A : axe logarithmique

Intérêt :

• Pouvoir représenter des variations importantes de fréquence (ou de pulsation) sur un même axe.

Principe :

• on s’intéresse à l’axe des fréquences (ou des pulsations).
• On considère que cet axe est un axe logarithmique.
• Il s’agit donc d’un axe qui est linéaire, non-pas pour f, mais pour log10 f.
• Les puissances successives de 10 y sont donc réparties de façon régulière.
• Le cas où f→0 est donc repousser vers –∞
• Utiliser un axe logarithmique revient à prendre non pas f comme variable mais X = log10 f pour avoir une échelle linéaire sur la variable X.
• Octave et Décade : ces écartements de fréquence sont régulièrement répartis sur l’axe

Soient M1(G1,f1) et M2(G2,f2) deux points de la représentation de G en fonction de f :

• M1 et M2 sont séparés d’une octave si : f2 = 2 f1 ;
• M1 et M2 sont séparés d’une décade si : f2 = 10 f1

Un comportement en  de T correspond sur le diagramme à une droite de pente de 20 x n dB par décade (ce qui correspond aussi à 6 x n dB par octave) car :
 lg =  ×  lg =  ×  × 𝑋
Exemple : il y a la même distance entre 2 rad.s-1 et 4 rad.s-1 qu’entre 4 rad.s-1 et 8 rad.s-1

Remarque :
La pulsation au milieu de 2 pulsations ωA et ωB sur l’échelle logarithmique vaut :
ω = sqrt(ωA ⋅ ωB)

Démonstration : le milieu d’un segment sur une échelle logarithmique s’écrit :
log ω = (log ωA + log ωB) / 2
Ce qui permet de déterminer plusieurs valeurs intermédiaires sur l’échelle.
Exemple : 3 rad.s-1 se situe au milieu de 1 et 9 rad.s-1 soit à peu près au milieu de la décade ;

[Image: Diagramme axe logarithmique et graduation]

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Filtres Actifs et ALI
Electricité 2ème année F. Garnier / A. Allouch / C. Dubegny 82 / 107

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ANNEXE B : détail des filtres 1er et 2ème ordre

Les filtres réalisables à partir de composant linéaire R, L, C donnent des résultats qui sont de la forme suivante :

Expression de la fonction de transfert complexe | Type du montage | Pente des asymptotes | Pulsations particulières

• T = 1 / (1 + j ω/ωc) | Passe-bas 1er ordre | Pente de -20 dB / dec | Pulsation de cassure ωc à -3 dB, -45°
• T = (j ω/ωc) / (1 + j ω/ωc) | Passe-haut 1er ordre | Pente de +20 dB / dec | Pulsation de cassure ωc à -3 dB ; +45°
• T = ωc^2 / ( (j ω)^2 + 2 ξ ωc (j ω) + ωc^2 ) (?) | Passe-bas du 2ème ordre | Pente de -40 dB / dec | Pulsation de cassure ωc à -90° ; pour ξ = 1/√2
• T = (ξ ωc (j ω)) / ( (j ω)^2 + 2 ξ ωc (j ω) + ωc^2 ) (?) | Passe-haut du 2ème ordre | Pente de +40 dB / dec | Pulsation de cassure ωc à +90° ; pour ξ = 1/√2
• T = [(ωc)^2] / [ (j ω)^2 + 2 ξ ωc (j ω) + ωc^2 ] | Passe-bande | Pentes de ± 20 dB / dec | Pulsation centrale ωc
• T = [ (j ω)/ωc ] / [ 1 + j ω/ωc + (ω/ωc)^2 ] | Coupe-bande | Pentes de ∓ 20 dB / dec | Pulsation centrale ωc

Avec des AOP, il est possible d’obtenir des gains multiplicateurs en K (K réel, K >1) devant la fraction.
Suivant les contraintes de performances du filtre, il est possible d’effectuer différents choix sur Q ou sur des transmittances d’ordres supérieurs (ces choix ont été étudiés et se nomment Butterworth, Tchebychev, etc).

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ANNEXE C : Comportement en régime libre d’un 2nd ordre résonant (Hors programme)

Cette annexe porte sur des notions de 2A 2ème semestre du module « modélisation et caractérisation de systèmes linéaires » et de 3A 2ème semestre « modélisation 0D ».

Le seul objectif est de vous proposer des moyens d’interprétations physiques des valeurs caractéristiques d’une fonction de transfert du deuxième ordre : ωn la pulsation naturelle et Q le facteur de qualité.

Régime forcé :

• Les résultats présentés dans le cours sont dits de régime forcé car une tension extérieure vient imposer le comportement de l’ensemble du circuit.
• A une tension sinusoïdale d’entrée, correspond une tension sinusoïdale en sortie (gain et déphasage correspondant).

Régime libre

• Le régime libre est quant à lui le résultat du comportement sous des conditions initiales de déséquilibre à un retour à un état d’équilibre sans actions extérieures.
• Cela revient à résoudre l’équation différentielle sans second membre du type pour le montage du cours et au schéma équivalent:
  ü + (ωn/Q) u̇ + ωn^2 u = 0
• Avec ici par exemple des charges électriques stockées initialement sur la capacité uS(t = 0) = q0/C et un courant initial nul.
• Cas idéal : Q → +∞ i.e. R = 0
  Il n’y aucune dissipation d’énergie donc la charge q0 s’échange dans le circuit entre une énergie électrostatique (potentielle) dans la capacité et une énergie magnétique dans l’inductance (cinétique) : il s’agit d’un résonateur harmonique.
• Cas réel résonant : ωr > ω? :
  L’équation caractéristique nous donne les deux racines conjuguées:
  s = − ωn/(2Q) ± j ωn sqrt(1 − 1/(4 Q^2))
• Ce qui définit la pulsation propre par : ωp = ωn sqrt(1 − 1/(4 Q^2))
• La solution homogène de l’équation différentielle est ainsi de la forme:
  u(t) = e^{−ωn t/(2Q)} [A cos(ωp t) + B sin(ωp t)]
• Et en exploitant les conditions initiales, il est possible de déterminer A et B.
• Interprétation physique :
  De la même façon, il y a échange d’énergie entre la capacité et l’inductance entraînant un comportement oscillant par déplacement des charges électriques q0.
  Les oscillations (de pulsation propre ωp) vont en s’annuler par pertes par effet Joule : lim t→∞ E_tot(t) = 0 (par analogie mécanique dissipation d’énergie par frottement visqueux dans un amortisseur).
• Expression énergétique : dans le cas où ωp ≃ ωn (soit Q élevé)
  L’énergie totale est donc décroissante suivant : E_tot(t) = E_p(t) + E_L(t) = C q^2(t) / 2 + L i^2(t) / 2
• Le facteur de qualité décrit donc l’aptitude du circuit à effectuer un nombre d’oscillations de période T avant d’atteindre un état d’énergie caractéristique (37% de l’énergie initiale pour t = τ).
  Réciproquement, plus Q est grand, moins il y a d’énergie perdue au cours d’une oscillation T.
• La tangente à l’origine est E_tot(t) ~ E0 e^{−t/τ} qui coupe l’axe des abscisses au bout d’un temps τ tel que : τ = Q/ωn
• Le facteur de qualité décrit donc l’aptitude du circuit à effectuer un nombre d’oscillations de période T avant d’atteindre un état d’énergie caractéristique (37% de l’énergie initiale pour t = τ).
• Le facteur de qualité décrit donc l’aptitude du circuit à effectuer un nombre d’oscillations de période T avant d’atteindre un état d’énergie caractéristique (37% de l’énergie initiale pour t = τ).
  Réciproquement, plus Q est grand, moins il y a d’énergie perdue au cours d’une oscillation T.

La pulsation propre est donc ωp = ωn sqrt(1 − 1/(4 Q^2)).
La solution homogène de l’équation différentielle est ainsi de la forme:
u(t) = e^{−ωn t/(2Q)} [A cos(ωp t) + B sin(ωp t)]

Interprétation physique :

• Déplacement des charges électriques q0 entraîne des oscillations.
• Les oscillations (ωp) se démentent par pertes par effet Joule.
• Le facteur de qualité Q décrit l’amortissement: plus Q est élevé, moins d’énergie est perdue par oscillation.

Expression énergétique :

• E_p(t) = (1/2) C V^2(t)
• E_L(t) = (1/2) L i^2(t)
• E_tot(t) = E_p(t) + E_L(t) décroît au cours du temps.
• τ (temps caractéristique) ~ τ = Q / ωn
• Le facteur de qualité Q détermine le nombre d’oscillations qui peuvent être réalisées avant d’atteindre un niveau d’énergie caractéristique (37%).

Le texte original contient des équations et figures associées qui illustrent ces points (notations et formules varient selon les passages).

ANNEXE D : Modélisation d’un ALI réel en régime linéaire

Le comportement linéaire à l’intérieur du composant peut être modélisé par circuit électrique équivalent suivant :
Figure 53 : Modèle équivalent à l’intérieur de l'ALI

• une impédance d’entrée Ze (qui tend vers l’infini en modèle idéal ; les courants sont nuls quelle que soit la tension ε) ;
• une impédance de sortie Zs (modèle de Thévenin d’une chute de tension suivant le courant nécessaire en sortie ; cette impédance et cette chute sont considérées nulles dans le modèle idéal)
• la tension en sortie est générée proportionnellement à la tension différentielle ε

Rmq : en régime linéaire du cas idéal, on considère que le gain différentiel Ad tend vers l’infini et la tension différentielle ε vers 0 : ce qui donne une forme indéterminée.

Calcul de l’effet du gain différentiel :
Il va être pris les 2 premières hypothèses précédentes sur les impédances d’entrée et de sortie pour lever cette forme indéterminée sur l’exemple du montage amplificateur non-inverseur du paragraphe .3.4.3 page 74 ; il vient :
 =  ⋅ et =  − 

 + 
Soit :



 + 
 + 
∞ →  +


et ε =

∞ → 
Soit le résultat établi avec la méthode classique du cours : le gain différentiel de l’ALI très élevé en fonctionnement linéaire n’influence pas directement le gain attendu sur l’ensemble du montage à cause de la contre-réaction de la sortie sur l’entrée.

Qualitativement, il s’établit simultanément la chaîne de causalité suivante :

• si   (lire « croît »), alors ε , via Ad,   mais par contre-réaction ε ≈ 0 et donc   sans saturer immédiatement ;
• sans contre-réaction R1 : ε = ve et vs sature très rapidement ;
  (ex : Ad = 105 ; vsat = 15 V ; ve_max ≈ 150 µV ce qui confirme que ε est faible)

[Image: Modèle équivalent à l’intérieur de l’ALI]

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ANNEXE E : Autres imperfections des AOP

Ci-dessous sont listés les imperfections de l’AOP qui seront étudiés quelques-uns en TD et la plupart en TP au deuxième semestre :

• Tension de saturation lors d’un fonctionnement en régime linéaire (cf exercice du TD) ;
• Impédance de sortie non nulle (présence d’une chute de tension lors des forts courants) ;
• Impédances d’entrées non infinies (présence de courant de polarisation i+ et i-) (input bias current) ;
• Tension de décalage (offset voltage) ;
• Vitesse de dérive (slew-rate, abrégé souvent en SR) : cf TP ;
• Gain fini en boucle et de type passe-bas : cf TP ;
• Produit Gain-Bande constant : cf TP ;
• Etc

Ce sont des informations que l’on retrouve sur les fiches techniques des AOP et qui perturbent le comportement théorique présenté dans ce cours.

Figure 54 : extrait de la fiche technique de l'AOP LM741
[Image: Fiche technique LM741 LM741]

Rév : 09-0825121559

Electricité 2ème année F. Garnier / C. Dubegny / A. Niel 88 / 107

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Séance Compétences visées

n°12

• Décrire un signal périodique
• Exploiter la décomposition en harmonique

n°13

• Calculer les puissances en régime de courant déformé
• Faire le lien avec le THDi et le facteur de puissance

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Table des matières (Régime déformé : Signal et Energie)

V. Régime déformé : Signal et Energie

• Les systèmes de production, de transport et de distribution d’énergie électrique utilisent majoritairement des tensions et des courants alternatifs sinusoïdaux (à 50 Hz en France). Préférentiellement, l’énergie électrique est manipulée en alternatif sinusoïdal triphasé.
• En fait, le domaine des petites et moyennes puissances voit beaucoup de redresseurs et d’alimentations à découpage qui imposent des courants non-sinusoïdaux perturbant les réseaux (régimes déformés).

1 Propriétés d’un signal périodique (rappels de 1ère année)

• 1.1 Définition
  Un signal variable dans le temps s(t) est dit périodique s’il se reproduit identiquement à lui-même au bout d’un temps T appelé « période ».
  ∀ k ∈ Z, s(t) = s(t + kT)
  De même qu’en sinusoïdal, on peut définir à partir de la période T (en s), la fréquence f (en Hz) et la pulsation ω (en rad/s) telles que :
  ω = 2πf = 2π/T

  NB : s(t) désigne un signal de nature physique quelconque.

  Figure 55 : exemple de signal périodique
  [Image: Exemple de signal périodique]

• 1.2 Valeur moyenne d’un signal
  .1.2.1 Notation
  Il existe plusieurs notations pour la valeur moyenne d’un signal s(t) qui sont : Ŝ, S moy, <s> ou <s(t)>
  Il sera privilégié la première écriture dans ce cours.

  .1.2.2 Définition
  La valeur moyenne d’un signal périodique de période T est définie par :
  Ŝ = (1/T) ∫_0^T s(t) dt

  • Étant donné les propriétés de l’intégrale, si on a s(t) = s1(t) + s2(t), alors on a la valeur moyenne Ŝ qui vaut Ŝ1 + Ŝ2 ;
  • Par définition, si s̄ = 0, le signal s(t) est dit alternatif.

  .1.2.3 Interprétation et calcul géométrique
  L’interprétation géométrique est directement liée à celle du calcul intégral : Ŝ = S1 − S2 et la valeur moyenne se calcule par Ŝ = (1/T) ∫_0^T s(t) dt.

  Figure 56 : La surface Δ est liée à la valeur de l’intégrale (au signe près selon les cas)

La valeur moyenne est algébrique. Elle est comprise entre les extrema de s(t).
Selon les problèmes considérés, il est plus aisé de calculer les surfaces Δ que l’intégrale.

i. Exercices d’applications directes
Calculer la valeur moyenne par le calcul d’aire du signal défini par s(t) = a × t sur l’intervalle [0 ; T] ( tracer la figure) ; vérifier par le calcul d’intégrale.

• 1.3 Valeur efficace d’un signal
• 1.4 Composante continue – composante alternative
• 1.5 Facteur de forme – Taux d’ondulation

2 Outils mathématiques et harmoniques

• 2.1 Décomposition de Fourier en Electrotechnique
• 2.2 Représentation et caractéristiques des harmoniques

3 Expression des puissances en régime de courant déformé

• 3.1 Cas considérés
• 3.2 Théorème de Boucherot
• 3.3 Puissance déformante – facteur de déplacement

4 Eléments de réponses aux exercices de cours

ANNEXE A : Lien avec le cours de mathématiques et propriétés
ANNEXE B : sources, propagation et conséquences des harmoniques
ANNEXE C : réduction et compensation des harmoniques
ANNEXE D : régime déformé généralisé

1.3 Valeur efficace d’un signal

.1.3.1 Notation

• S ou Seff

Il sera privilégié la première écriture dans ce cours.

.1.3.2 Définition

« La valeur efficace d’un signal périodique est la racine carrée de la valeur moyenne du carré de la grandeur ».

S = √( (1/T) ∫_0^T s^2(t) dt )

La valeur efficace est nécessairement une grandeur positive puisqu’elle est issue d’un carré.

.1.3.3 Interprétation physique (liée à l’énergie)

À un instant t, une résistance R traversée par un courant périodique i(t) reçoit une puissance instantanée p = R i^2(t) ( pertes par effet Joule ).

La valeur moyenne sur une période de la puissance reçue est : P̄ = p̄ = R ⟨i^2⟩ = R I^2.

« L’intensité efficace I du courant périodique i est égale à l’intensité d’un courant continu qui apporterait la même puissance P à la même résistance R ».

.1.3.4 Méthode de détermination d’une valeur efficace par géométrie

Selon certains problèmes, il est plus aisé d’utiliser la méthode géométrique que le calcul intégral:

• 1ère étape : Tracer le carré du signal i^2(t) considéré sur une période ;
• 2ème étape : Calculer ou déterminer l’aire sous la courbe S à la place de l’intégrale (NB : la courbe est ici toujours positive du fait du carré) ;
• 3ème étape : Calculer la valeur efficace par S = √( Aire / T )

ii. Exercice d’applications directes
Calculer la valeur efficace par le calcul d’aire du signal défini par s^2(t) = k, (k constant) sur l’intervalle [0 ; T/2] et 0 sur [T/2 ; T] (tracer la figure de s^2(t)) ; vérifier par le calcul d’intégral.

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1.4 Composante continue – composante alternative

A moins d’être un signal continu, tout signal périodique varie autour de sa valeur moyenne.

.1.4.1 Définition

« Un signal s(t) peut à tout instant être décomposé en la somme d’une composante continue (égale à sa valeur moyenne) et d’une composante alternative sond(t) (c-à-d « ondulation » du signal) de valeur moyenne nulle. »

s(t) ≝ s̄ + sond(t)

Figure 57 : Exemple avec le cas particulier du signal sinusoïdal avec composante continue et sa décomposition

De cette définition et par les propriétés mathématiques associées, on peut conclure :
S^2 = S̄^2 + S_ond^2

Avec S_ond^2 le carré de la valeur efficace de la composante alternative.

Démonstration :
S^2 = (1/T) ∫_0^T s^2(t) dt
Avec s(t) = s̄ + s_ond(t) et s̄ constant, on obtient S^2 = s̄^2 + S_ond^2 ( le terme cross éliminé par moyenne nulle de sond(t) ).

iii. Exercice d’applications directes

On reprend le signal défini à l’exercice ii.

• a. Calculer simplement la valeur moyenne ;
• b. Déduire de ce résultat et de celui de l’exercice ii la valeur efficace S_ond ;
• c. Tracer les trois courbes s̄(t), i(t) et sond(t) sur le modèle de la Figure 57 ;
• d. Retrouve-t-on le résultat de la valeur efficace au vu de la courbe sond(t) ?

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1.5 Facteur de forme – Taux d’ondulation

.1.5.1 Définitions

Pour un signal s(t) périodique, de valeur moyenne non nulle, on définit le facteur de forme F et le taux d’ondulation τ par :

• F = S / s̄, avec F nécessairement supérieur ou égal à 1 ;
• τ = S_ond / s̄, avec τ nécessairement positif ou nul ;

.1.5.2 Intérêt de ces caractéristiques

La connaissance de F et/ou τ permet de savoir si s(t) se rapproche ou non d’un signal continu : la composante alternative sond(t) est alors quasi nulle.
F ≈ 1 et τ ≈ 0 correspond à un signal proche d’un signal continu.

.1.5.3 Relation entre ces caractéristiques

F^2 = 1 + τ^2

Démonstration : F^2 = S^2 / s̄^2 = (s̄^2 + S_ond^2) / s̄^2 = 1 + (S_ond^2 / s̄^2) = 1 + τ^2

iv. Exercice d’applications directes

a. Calculer le facteur de forme F et le taux d’ondulation τ du signal défini à l’exercice précédent.
b. Vérifier alors l’égalité de la relation ci-dessus dans le cours.

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2 Outils mathématiques et harmoniques

2.1 Décomposition de Fourier en Electrotechnique

Tout signal périodique s(t), de période T (de fréquence f et de pulsation ω correspondants), peut être décomposé en une somme comprenant:

• un terme constant (valeur moyenne) ;
• une suite infinie de signaux sinusoïdaux, appelés « harmoniques » de s(t), et dont les fréquences f_n sont des multiples de f (c-à-d f_n = n f) ;

s̄(t) = s̄ + ∑_{n=1}^{∞} s_n(t) avec s_n(t) = S_n √2 sin(n ω t + φ_n)

Avec S_n et φ_n respectivement la valeur efficace et le déphasage de l’harmonique dont les valeurs dépendent du signal considéré.

Voir l’annexe A pour le lien entre l’écriture de ce cours et celui de mathématiques.

.2.1.1 Définition

• n désigne ce qu’il est appelé le « rang » de l’harmonique ;
• l’harmonique de rang 1 (c’est-à-dire s1(t) = S1 √2 sin(ω t + φ1), qui est à la même fréquence que le signal périodique) est appelé le « fondamental » ;

.2.1.2 Cas généralement rencontrés

Si l’on s’intéresse uniquement à des grandeurs du réseau électrique, celles-ci étant alternatives et présentant souvent une symétrie de glissement (cf Annexe A), la décomposition de Fourier se retrouve sous la somme d’harmoniques de rang impairs :
s(t) = ∑{k=0}^{∞} s{2k+1}(t)

2.2 Représentation et caractéristiques des harmoniques

.2.2.1 Spectre d’un signal

Il s’agit d’une représentation possible du résultat de la décomposition sous la forme d’un diagramme bâton : sur l’axe en abscisse est indiqué le rang des harmoniques et en ordonnée la valeur efficace S_n correspondante (ou un pourcentage d’une valeur de référence).

L’appareil de mesure des harmoniques (appelé analyseur de réseau) permet d’afficher le résultat sous cette forme. L’harmonique de rang 0 est par définition la valeur moyenne.

• Figure 58 : Exemple de spectre
  [Image: Figure 58: Exemple de spectre]

.2.2.2 Valeur efficace d’un signal périodique

La valeur efficace d’un signal périodique est liée aux valeurs efficaces des harmoniques suivants :
S^2 = S̄^2 + ∑_{n=1}^{∞} S_n^2

Note : cela correspond au théorème de Parseval en cours de mathématiques.

.2.2.3 Distorsion

On se place dans le cas de signaux périodiques de valeur moyenne nulle (S̄ = 0). Le terme fondamental est en principe prépondérant dans la décomposition harmonique. Les termes suivants contribuent à déformer ce signal sinusoïdal et apportent ce qu’on appelle de la distorsion.

La grandeur qui permet de caractériser cette distorsion est le taux de distorsion harmonique (THD pour « total harmonic distortion »), calculé suivant :
THD(s) = sqrt(S_2^2 + S_3^2 + ... ) / S_1 = S_h / S_1

Avec S_1 la valeur efficace du fondamental et S_h la valeur efficace de l’ensemble des harmoniques autres que le fondamental.

iv. Exercice d’applications directes

On considère un courant déformé défini par les valeurs efficaces de ces harmoniques, dont les 4 premières sont les plus importantes:

Rang n | I_n (en A)
1 | 40
2 | 10
3 | 5
4 | 2
… …

a. Calculer la valeur efficace du signal de l’intensité du signal I (en utilisant le théorème de Parseval) ;
b. Calculer le THD(i) ;

• Figure 59 : exemple de signal ayant une distorsion et son fondamental (THD faible)
  [Image: Figure 59: exemple de signal ayant une distorsion et son fondamental]

Expression des puissances en régime de courant déformé

En régime périodique, encore appelé « régime déformé » chaque harmonique agit pour son propre compte, ce qui conduit à introduire la notion de puissance déformante.

3.1 Cas considérés

• Dans le cas d’une installation idéale, la ou les charges étudiées sont linéaires, c’est‑à‑dire qu’elles consomment des courants sinusoïdaux lorsqu’elles sont placées sous tension sinusoïdale. Les différentes puissances recensées sont donc P, Q et S.
• Lorsqu’une charge est non‑linéaire ou non‑soutenue à une tension sinusoïdale (ou les deux !!!) le recensement des puissances P, Q, S est insuffisant ; une quatrième puissance apparaît, la puissance déformante (notée D).
• Nous nous concentrerons uniquement sur le cas le plus commun où le courant est déformé dans la suite de ce chapitre, tel que : u(t) et i(t) contiennent des harmoniques (somme d’harmoniques).
• Les résultats présentés peuvent être adaptés dans le cas où seule la tension est déformée (en interchangeant U et I dans les expressions qui suivent). Le cas général où les deux grandeurs sont déformées est présenté en annexe D.

3.2 Théorème de Boucherot

• La puissance active et réactive est véhiculée par les harmoniques de même rang. D’où : P = U1 I1 cos φ1 et Q = U1 I1 sin φ1.
• Démonstration : on s’intéresse à la puissance instantanée p(t) = u(t) i(t), ce qui donne …
  • On peut réécrire p(t) sous forme trigonométrique et montrer que seul le terme lié au déphasage entre l’harmonique de courant et la pulsation de la tension peut donner une moyenne non nulle.
  • La puissance réactive Q est alors définie en complément de l’expression de P.

Exercice d’applications directes (à partir du signal défini à l’exercice précédent, déphasé par φ1 = 30°, sous une tension sinusoïdale de 230 V) : Calculer P et Q.

3.3 Puissance déformante – facteur de déplacement

• La puissance apparente S et le facteur de puissance fp n’ont pas changé de définitions:
  • S ≝ UI et fp ≝ P/S
• Or il apparaît que les expressions définies en régime sinusoïdal ne sont plus vraies du fait de la présence d’harmoniques.
• Il est possible de définir une puissance réactive due aux harmoniques (c-à-d qui n’entraîne pas de consommation d’énergie mais l’existence d’une composante du courant non‑négligeable) telle que:
  • S^2 = P^2 + Q^2 + D^2
  • Où D est appelée la puissance déformante et s’exprime en VAD – voltampères deformants (ou parfois simplement en VAR).
• Démonstration : S^2 = U^2 I^2 = U^2 (i^2 + I2^2 + I3^2 + …), avec … = D^2. Ainsi, D = √(S^2 − P^2 − Q^2) et D représente toutes les harmoniques autres que le fondamental.
• Exercice d’applications directes : En reprenant les valeurs des exercices précédents, vérifier que S ≠ √(P^2 + Q^2) et calculer D.

Exercice d’applications directes (suite) : En reprenant les valeurs des exercices précédents, vérifier que S ≈ √(P^2 + Q^2) et calculer D.

4 Eléments de réponses aux exercices d’applications directes

• i. Corrigé
• ii. Corrigé
• iii. Corrigé
  • On peut noter que la composante alternative a bien une valeur moyenne nulle (autant d’aire formée au‑dessus et en dessous de l’axe des abscisses). On remarque que s̄(t) est nulle sur tout l’intervalle (ce qui confirme la valeur efficace trouvée précédemment).
• iv. Corrigé
• v. Corrigé
• vi. Corrigé
• vii. Corrigé
• vii. Corrigé
• viii. Corrigé
  • Des valeurs précédentes, on trouve bien que la relation S = √(P^2 + Q^2) n’est pas vérifiée (du fait de la présence d’harmoniques de courant) et D ≈ 2,63 kVAD.

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ANNEXE A : Lien avec le cours de mathématiques et propriétés

Lien avec le cours de Mathématiques :

• s(t) = s̄ + ∑_{n=1}^{∞} s_n(t) avec s_n(t) = s_n cos(n ω t + φ_n)
• L’écriture de la décomposition de Fourier utilisée en électricité (telle que rappelée ci‑dessus) diffère de celle du cours de mathématiques … Il s’agit pourtant d’exactement de la même décomposition.
• La correspondance entre les deux écritures peut se déduire sous la forme suivante :
  • s̄ = s̄
  • S_n = √(a_n^2 + b_n^2) et φ_n = atan(b_n / a_n)
• Propriétés mathématiques :
  • Si le signal est pair, c’est‑à‑dire s(−t) = s(t), tous les coefficients b_n sont nuls (ou φ_n = 0).
  • Si le signal est impair, c’est‑à‑dire s(−t) = −s(t), tous les coefficients a_n sont nuls (ou φ_n = π/2).
  • Si le signal possède une symétrie de glissement, c’est‑à‑dire s(t + T/2) = −s(t), il n’y a pas d’harmoniques de rang pair dans le développement de s(t).
• Conclusion : en effectuant un choix convenable de l’origine des temps, on peut simplifier un développement en série de Fourier.
• Figure 60 : exemples de signaux avec des propriétés particulières
  [Image: Figure 60 : exemples de signaux avec des propriétés particulières]

ANNEXE B : sources, propagation et conséquences des harmoniques

Sur les réseaux électriques, les sources principales d’harmoniques sont facilement identifiables.

• On relève notamment (en de très grandes proportions) les récepteurs de courants non‑sinusoïdaux tels que : systèmes à courants « hachés », gradateurs, ballast électroniques, variateurs de vitesse… plus généralement, l’ensemble des convertisseurs de l’électronique de puissance.
• Aujourd’hui, le très grand nombre d’appareils nécessitant une alimentation électronique entraîne un contenu harmonique circulant sur le réseau non‑négligeable.
• Exemple : tronçon de réseau où deux charges sont connectées, l’une linéaire et l’autre non (donc génératrice d’harmoniques).
  • Le courant en amont du nœud est la somme des courants et porte donc le contenu harmonique de iNL.
• De plus, à cause des impédances de ligne symbolisées par l’impédance Z, la tension appliquée aux charges vc vérifie :
  • Vc = Vr − Z (IL + INL)
• Ainsi, le contenu harmonique du courant consommé par la charge non‑linéaire aura une influence sur la forme de la tension vc.
• [Image: schéma réseau électrique avec récepteurs linéaire et non-linéaire]

Conclusion

« Les harmoniques de courant se « propagent » sur les réseaux, des charges vers les sources ».
Si la présence d’harmoniques est inévitable dans le fonctionnement de certaines charges, il est important de comprendre que cette « présence » est en général synonyme de nuisances ou problèmes tels que :

• Problème de facteur de puissance : une charge consommant un courant non-sinusoïdal consomme donc une puissance déformante non-nulle. Ainsi, même en l’absence de puissance réactive, son facteur de puissance est inférieur à un. (Ex. : les redresseurs à diodes type P2 ou P3 présentent des facteurs de puissance « naturels » (c-à-d sans éléments réactifs) de l’ordre de 0,5…..d’où leur très faible utilisation !!!).
• Problème de courants de neutre : dans les installations triphasées, les harmoniques multiples de 3 s’ajoutent dans les conducteurs de neutres. Ils sont ainsi souvent à l’origine de surchauffe (pertes trop importantes ou dépassement du courant nominal efficace) voire d’endommagement du conducteur.

Remarques :

• Harmoniques pairs et impairs :
  De façon très générale en Electrotechnique, seules les harmoniques de rangs impairs (3, 5, 7…) apparaissent sur les réseaux et dans les charges. Si c’est le cas le plus fréquent, des harmoniques de rangs pairs peuvent également apparaître dans certains cas (heureusement bien connus) comme : les redresseurs mono-alternances et les fours à arc.

• Courant de neutre des installations en présence d’harmoniques :
  Dans les systèmes triphasés, contrairement aux courants fondamentaux, les courants de rang multiples de trois (3, 6, 9…) ne s’annulent pas dans le conducteur de neutre, ils s’ajoutent. En effet, si ia, ib et ic sont les trois courants de ligne consommés par une charge équilibrée non-linéaire, leurs harmoniques multiples de 3 (notés 3k) s’écrivent :

  ia3k = ib3k = ic3k et In = 3 x I3k

  Si le neutre de l’installation ou de la charge est relié, ces composantes s’y ajoutent (alors que les fondamentaux s’annulent ; les courants de chaque phase au rang 3 n’est plus déphasé entre eux) donc et il devient nécessaire de surdimensionner ce conducteur afin d’en éviter la surchauffe ou la détérioration.

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ANNEXE C : réduction et compensation des harmoniques

La présence d’harmoniques dans les courants véhiculés sur les réseaux est responsable de nombreuses « nuisances ».

En conséquence il est donc impératif d’une part de limiter l’ampleur des courants déformés par une normalisation adaptée au niveau des appareillages et d’autre part de les « filtrer » au maximum sur les grandes « artères » des réseaux électriques.

On distingue ainsi les moyens suivants permettant de lutter contre les contenus harmoniques et leurs conséquences :

• La norme CEI 61 000-2-2, 3-2 et 2-4 définit les niveaux maximaux tolérés des divers harmoniques. L’ensemble des appareillages connectés sur les réseaux en basse tension doit présenter des taux d’harmoniques inférieurs aux niveaux fixés par la norme pour pouvoir être commercialisés. De plus en plus d’appareils de consommation courante (chargeurs de batteries, alimentations de TV, de PC…) sont pourvus de dispositifs de limitation des harmoniques (filtres, convertisseur à absorption sinusoïdale de courant,…) de courants consommés.
• Des filtres résonnants placés régulièrement sur les différents noeuds des réseaux électriques permettent de dévier et d’amenuiser des signaux harmoniques particuliers qui circulent sur les lignes.
• Des convertisseurs statiques asservis, permettant de générer des courants opposés aux contenus harmoniques de charges en série ou en parallèle, existent également (mais sont encore relativement rares).

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ANNEXE D : régime déformé généralisé

Il est présenté ici le cas général où le courant et la tension sont déformés :

• u(t) = ū + u1(t) + u2(t) + ...
• i(t) = î + i1(t) + i2(t) + ...

La puissance active et réactive est véhiculée par les harmoniques de même rang. D’où :

• P = ū · î + U1 I1 cos φ1 + U2 I2 cos φ2 + ...

• Q = U1 I1 sin φ1 + U2 I2 sin φ2 + ...

Note : il n’existe pas de puissance réactive par rapport aux valeurs moyennes (qui se rapportent aux composantes continues)

Il est possible de définir une puissance réactive due aux harmonifiques (c-à-d qui n’entraîne pas de consommation d’énergie mais l’existence d’une composante du courant non-négligeable) telle que :

• S = sqrt(P^2 + Q^2 + D^2)

Où D est appelée la puissance déformante et s’exprime en VAD – voltampères déformants (ou parfois simplement en VAR).

Il est possible de démontrer que : (équations non lisibles dans l’image)

Soit : D^2 = [expression en fonction des harmoniques]

Rév : 09-0825121559

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[Image: Entête ESTACA - page 101]

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Contenu du cours (Éléctrcité ESTACA – modules)

• Outils Mathématiques: Complexe – Vecteurs; Calcul intégral; fonction logarithme (décomposition de Fourier)

• Répartition de résultats de partiel en N°1
  [Image: Diagramme des résultats de partiel en N1]

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Module électricité 2e année

• Vélo électrique rechargeable
  [Image: Schéma - Chaîne d'énergie du vélo électrique]

• Contenu du cours (slides)
  [Image: Contenu du cours - slides ESTACA]

Modalités du Contrôle Continu

• Ensemble des résultats collectés sur Openschool (= note qui sera communiquée à l ADE ; penser à vérifier la justesse des informations au fur à mesure de la communication des résultats)
• En cas de doute, consulter le coordinateur du module (C. Dubegny) avec copie à votre RP

[Image: Répartition des coefficients du CC]

Attitude en séance OpenSchool

• Confronter sa compréhension du cours
• Poser les questions de manière précise et à temps
• Vérifier si vous êtes capable de répondre aux autres questions
• Comprendre les méthodes :
  • Participer activement à la recherche et à la corrections exercées proposées
  • Vérifier les spécificités d’un résultat particulier de TD
• Vérifier les prérequis
• Préparer la séance
• Capitaliser et intégrer
• Développer sa culture technique
• Valider des acquis

[Image: Articulation Séance - Hors séance]

Démarche d’analyse des systèmes électriques

• Travaux dirigés : Méthodologie de travail
• Outils de calculs, de représentation et d’analyse

[Image: Démarche d’analyse des systèmes électriques]

Travaux dirigés : Méthodologie de travail

• Avant-propos
  • Ces quelques pages ont comme ambition de vous rappeler un certain nombre de fondamentaux de méthodologie de travail (vous pouvez retrouver une version plus détaillée dans le polycopié de mathématiques de 1ère année).
  • Il est néanmoins important de noter que toute méthodologie est perfectible, et qu’elle ne serait être efficace que si :
    1. vous vous appropriez la méthode en l’adaptant à vos besoins et les situations rencontrées ;
    2. vous acceptez que les résultats attendus peuvent prendre du temps à se mettre en place ;
  • A ce titre, vous devez vous autoévaluer le plus régulièrement et objectivement possible afin d’évaluer le besoin de remettre en question vos pratiques actuelles (et ce, avant les partiels).
• Avant la séance
  • A. Assimiler le cours
    • Le but est de se constituer des questions les plus approfondies possibles sur le contenu du cours et de repérer le moment où la compréhension bloque.
    • Un cours de physique est généralement constitué de trois éléments suivants :
      1. un cadre d’étude qui délimite la validité des énoncés proposés ;
      2. les définitions des concepts mis en jeu ;
      3. les relations que l’on peut déduire entre les concepts ;
    • Préparer le cours consiste à se donner les moyens pour comprendre ces 3 points (les deux premiers étant souvent négligés).
  • B. Effectuer les exercices d’applications
    • Le but est de se confronter à l’utilisation des relations et définitions du cours sur des exemples simples pour automatiser les calculs et les lier aux concepts.
  • C. Préparer les séances de travaux dirigés
    • Le but est de se familiariser avec les énoncés pour y consacrer plus de temps utile en séance
• Pendant la séance
  • Le but est de pouvoir profiter des retours directs sur ses capacités de résolution en séance pour devenir autonome.

Travaux dirigés : Régime permanent sinusoïdal

Expressions en régime sinusoïdal

• Loi des nœuds
  • Connaissant l’expression temporelle (équation horaire) des trois courants suivants en relation dans un circuit, en aperçu ci-dessous :
    • i1 = 3√2 sin(ωt) (Référence des phases)
    • i2 = 6√2 sin(ωt + π/2)
    • i3 = 4√2 sin(ωt + π/4)
  1. Quelle valeur permet d’affirmer que i1 sert de référence des phases ? Déterminer l’expression de i4 :
  2. Sans détailler, en fonction de i1, i2 et i3 ;
  3. A l’aide des vecteurs de Fresnel à l’échelle ;
  4. ‡ A l’aide de l’écriture complexe ;
• Relevé oscilloscope
  • On relève à l’oscilloscope les tensions v1 et v2 avec le résultat ci-dessous :
  • Calibre des différentes voies :
    • Base de temps : 1 ms / div ;
    • Tension v1 : 1 V / div ;
    • Tension v2 : 0,2 V / div ;
  1. Déterminer à partir de ces relevés la période T, la fréquence f et la pulsation ω de ces deux tensions ;
  2. Relever la valeur du décalage temporel τ entre les deux tensions ; préciser l’ordre entre les signaux (retard/avance). Déterminer les phases à l’origine.
  3. Déterminer les valeurs maximales de v1 et v2 ; en déduire les valeurs efficaces ;
  4. ‡ Tracer les vecteurs de Fresnel ;
  5. ‡ Les deux signaux peuvent être liés par un système linéaire : pourquoi ? Quelle(s) question(s) n’auriez-vous pas pu traiter ?
• Impédance
  • Relevé oscilloscope (suite)
  • On considère une bobine, modélisée par une inductance L et de résistance négligeable, en série avec une résistance R (telle que R = 100 Ω)
  • v1 représente la tension aux bornes du montage, v2 la tension aux bornes de la résistance (c-à-d une tension “image” du courant).
  1. Donner le schéma électrique de l’association en convention récepteur ;
  2. ‡ Préciser le branchement de l’oscilloscope ;
  3. Quelle est la nature du circuit (justifier à l’aide des sinusoïdes) ? Quel est alors le signe du déphasage ?
• A. Première méthode :
  4) Montrer que U = 3,5 V et I = 11,3 mA ;
  5) Calculer le module de l’impédance Z de l’association ;
  6) En déduire la valeur de l’inductance L ;
• B. ‡ Seconde méthode :
  7) Écrire la loi d’additivité des tensions uL (aux bornes de l’inductance) et uR (aux bornes de la résistance)
  8) Déterminer les vecteurs de Fresnel, préciser celui à privilégier en référence des phases et tracer-les ; en déduire la valeur du déphasage ; (1 cm ↔ 0,5 V)
  9) Relier au déphasage courant/tension l’inductance L puis calculer sa valeur ;
• C. ‡ Retrouvez les résultats précédents par calculs complexes.

TD Régime sinusoïdal

F. Garnier / A. Allouch / C. Dubegny / N. Ouail - 2 - U.E. Physique et Energétique

Association de dipôle

Il s’agit de déterminer l’impédance équivalente du circuit suivant :
R = 50 Ω ; L = 0,1 H ; C = 20 µF
La valeur efficace de l’intensité du courant est I = 1 A et la pulsation des signaux sinusoïdaux est de 1000 rad.s-1 ;

A. Utilisation de la construction de Fresnel

• On choisit le courant i comme référence des phases, pourquoi ?
• Exprimer la tension u en fonction de u1, u2 et u3 ; En déduire la relation vectorielle correspondante.
• Après avoir défini les vecteurs de Fresnel associés aux tensions u1, u2 et u3 des trois dipôles, effectuer la construction de Fresnel en prenant pour échelle : 1 cm ↔ 10 V
• Déduire de la construction les caractéristiques (valeur efficace et phase à l’origine) de u, puis celles de l’impédance du circuit ;

B. Utilisation de la notation complexe

• 1. Exprimer en module et argument le nombre complexe associé à chacun des éléments du circuit (respectivement ZR, ZL et ZC) ;
• 1. Donner l’expression littérale de l’impédance équivalente Z du circuit puis calculer le module de celle-ci ;

Puissance monophasée – Adaptation d’impédance

Un générateur est modélisé par une source de tension de fem et un dipôle DG d’impédance complexe ZG. On décide de brancher une charge aux bornes de ce générateur. Elle est représentée par le dipôle D d’impédance complexe Z. En notation complexe, les impédances peuvent se mettre sous la forme respectivement Z = R + jX et ZG = RG + jXG.

• 1. Déterminer la puissance moyenne reçue par le dipôle D en fonction de la valeur efficace de la fem du générateur, des résistances et des réactances des éléments composant le circuit.
• 1. Pour quelles valeurs de R et X la puissance reçue par le dipôle D est-elle maximale ? En déduire la relation simple qui existe entre cette valeur particulière de l’impédance Z et celle du générateur. Dans ce cas on dit alors qu’il y a adaptation d’impédance.
• 1. Exprimer la puissance Pm absorbée par le dipôle D lorsqu’il y a adaptation d’impédance. Quel est alors le pourcentage de la puissance absorbée par D par rapport à la puissance fournie par le générateur ?
• 1. Quelle est la puissance absorbée par le dipôle D s’il est purement inductif ou capacitif ? Que devient l’énergie dissipée par le générateur ?
• 1. ‡ Pour un générateur de fréquence f = 50 MHz, déterminer les caractéristiques et valeurs de l’impédance ZG qui permettrait d’avoir adaptation d’impédance si l’on branche à ses bornes un dipôle équivalent à une résistance R = 50 Ω en parallèle avec une capacité C = 100 pF.

Ex7 ‡ Maximum admissible

On désire réutiliser un transformateur monophasé dont la plaque signalétique indique une puissance apparente maximum de 5000 VA, avec 230V – 50 Hz en tension de sortie.

1. Calculer le courant maximum que peut déliver le transformateur correspondant à Smax ;
   Un moteur était branché en sortie du transformateur avec les caractéristiques suivantes mesurées à la pince wattmétrique : Puissance absorbée 3,6 kW ; facteur de puissance 0,8.
2. Donner la puissance active consommée par le moteur, puis calculer le courant.
   La nouvelle installation où va être installé le transformateur est composée de lampes à incandescence qui se comporte électriquement comme une résistance, avec la caractéristique suivante pour chaque lampe : Puissance consommée 310 W, tension nominale 230 V
3. Quel est le facteur de puissance d’une lampe ? Déterminer la puissance réactive d’une lampe.
4. Déterminer la puissance apparente total de N lampes.
5. Combien de lampe peuvent donc être installée ? Quel est alors le courant consommé ?
6. Quelle doit être la puissance apparente maximum du transformateur si les deux installations sont branchées en aval ?

Transformateur monophasé

Introduction au transformateur réel

Ex4 : ‡ Lecture de courbes

• Décrivez les deux éléments de la courbe qui контredit le comportement attendu d’un transformateur parfait.
• Décrivez pourquoi la courbe du rendement contredit le comportement du transformateur parfait.

Plaque signalétique

La plaque signalétique d’un transformateur monophasé indique : 500 VA ; 240 V ; 25 V ; 50 Hz

1. Que signifient ces indications ? En déduire le rapport de transformation et les intensités efficaces des courants nominaux ;
2. Le primaire étant alimenté sous sa tension nominale, le secondaire débite un courant de 19,5 A, sous une tension de 24 V, dans une charge inductive de facteur de puissance égal à 0,6. Calculer :

• a. La chute de tension relative ΔU2−% du secondaire ;
• b. La puissance active fournie à la charge ;
• c. Le rendement du transformateur pour ce fonctionnement, l’ensemble des pertes s’élevant à 32 W
• d. Le facteur de puissance du primaire en approchant la valeur de l’intensité du courant au primaire au cas parfait ;

Modélisation du transformateur réel

Exploitation des essais
A. Essais à vide et en court-circuit
Un transformateur monophasé (11,5 kVA ; 5000/230 V ; 50 Hz) a été soumis aux essais suivants, au cours desquels on a mesuré :

• à vide sous U10 = 5000 V, I10 = 0,2 A, P10 = 300 W ;
• en court-circuit sous U1CC = 500 V, I1CC = 2,3 A, P1CC = 850 W ; I2CC = 50 A ;

1. Calculer le rapport de transformation.
2. Exploitation de l’essai à vide :

• a. Rappeler le schéma du montage de l’essai à vide avec les appareils de mesure utilisés ; préciser les grandeurs physiques nulles.
• b. Quelle est la valeur efficace attendue de la mesure de la tension au secondaire ?
• c. Déterminer Rµ et Lm.

1. Exploitation de l’essai en court-circuit

• a. Retrouver le schéma du montage de l’essai en court-circuit avec les appareils utilisés ; préciser les grandeurs physiques nulles.
• b. Retrouver par le calcul l’intensité efficace du courant secondaire de court-circuit.
• c. Déduire de cet essai les éléments Rs et Xs du modèle équivalent du transformateur transféré au secondaire (modèle équivalent pour la charge).

Ex5 : Plaque signalétique (suite)

• Exemples de calculs et questions autour de l’indication de la plaque et du rendement.

Ex6 : Exploitation des essais

• A. Essais à vide et en court-circuit (suite)
• B. Modélisation du transformateur réel
• c. Le rendement du transformateur pour le fonctionnement, l’ensemble des pertes s’élevant à 32 W
• d. Le facteur de puissance du primaire en approchant la valeur de l’intensité du courant au primaire au cas parfait ;

Ex7 : Lecture de courbes

• Introduction au transformateur réel (suite)

Ex8 : ‡ Compensation d’énergie réactive et signaux sinusoïdaux

On considère le circuit suivant en régime permanent alimenté sous une tension efficace U = 24 V : R = 8 Ω, C = 62,5 µF et L = 0,1 H ; La pulsation des signaux est de 400 rad.s-1 ;

• 1. Justifier de prendre la tension u comme référence des phases ; Tracer les vecteurs de Fresnel correspondant aux courants iC, iL et iR ;
• 1. ‡ Associer les signaux sinusoïdaux aux courants à l’aide du déphasage et/ou de la valeur efficace ;
• 1. En déduire une relation pour itot, sa valeur efficace et son déphasage ;
• 1. Déterminer les valeurs Ptot, Qtot et Stot ;
• 1. ‡ Que pensez-vous de la valeur iC + iL en régime permanent ? en régime transitoire ?

[Image: schéma et courbes associés à Ex8]

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[Image: Circuit R-L-C exposé dans Ex4]

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[Image: Graphique de compensation énergie réactive et schéma; Ex8]

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TD Transformateur Monophasé

F. Garnier / A. Allouch / C. Dubegny / N. Ouail - U.E. Physique et Energétique

Introduction au transformateur réel

Ex1 : Flux forcé

Le primaire d’un transformateur parfait, de rapport de transformation m = 0,20, est alimenté par une tension sinusoïdale de valeur efficace U1 = 240 V et de fréquence f = 50 Hz. Calculer :

• 1. La valeur efficace de la tension secondaire ;
• 1. Le nombre de spires de l’enroulement primaire si le secondaire en comporte 50 ;
• 1. Le champ maximum qui règne dans le circuit magnétique, dont l’aire de la section droite vaut S = 43 cm² ;
• 1. Les différentes puissances lorsque le secondaire débite 10 A dans une charge inductive de facteur de puissance égal à 0,80.

Ex2 : Dimensionnement

Il est proposé ici de calculer des ordres de grandeur à partir du modèle du transformateur parfait suivant le cahier des charges ci-après :

• Alimentation au primaire : 240 V / 50 Hz ;
• Circuit magnétique : champ maximal 10 T ;
• Rapport de transformation : m = 0,01 ;
• Epaisseur d’une spire : 2 mm ;
• Encombrement pour système embarqué (i.e. : à minimiser) ;

1. En supposant l’existence d’une seule spire au secondaire, combien de spires faut-il au primaire ? En réalité, on supposera qu’il en faut minimum 10 au secondaire ;
2. Calculer la valeur de l’aire de la section droite ;
3. Calculer le volume de l’enroulement primaire et secondaire ; Qu’en déduisez-vous ?
4. Ces résultats dépendent-ils du nombre de spires ? (Déterminer une expression littérale du volume en fonction du CdC)

Ex3 : Intérêt de l’élévation de tension

Le but de cet exercice est d’étudier le comportement de deux transformateurs abaisseurs identiques connectés en cascade. Le premier transformateur, relié à l’alimentation EDF a ses connections inversés entre le primaire et secondaire afin qu’il fonctionne en mode élévateur de tension.

• A. Transformateurs parfaits en cascade
  • Il est choisi de modéliser simplement les pertes joules du transport de l’énergie par câble avec une résistance RT.
  • Le premier transformateur est branché à l’envers pour effectuer une élévation de la tension. Le deuxième transformateur est branché normalement. Son rapport de transformation sera noté m (m<1).
  1. Commet s’appelle le principe physique qui valide l’utilisation du 1er transformateur en branchement inversé ? Exprimer alors le rapport de transformation effectif m’en fonction de l’EDF et UT, puis en fonction de m, le rapport de transformation commun des deux transformateurs ;
  2. Ramener l’ensemble des charges Zc et la résistance RT au niveau de l’alimentation en donnant l’expression de Zeq en fonction de m ;
  3. Quel est l’avantage par rapport à un branchement direct sans les transformateurs ?

TD Transformateur Monophasé

Introduction au transformateur réel

Ex4 : ‡ Lecture de courbes

1. Décrivez les deux éléments de la courbe qui contredisent le comportement attendu d’un transformateur parfait.
2. Décrivez pourquoi la courbe du rendement contredit le comportement du transformateur parfait.

Plaque signalétique

La plaque signalétique d’un transformateur monophasé indique : 500 VA ; 240 V ; 25 V ; 50 Hz

1. Que signifient ces indications ? En déduire le rapport de transformation et les intensités efficaces des courants nominaux ;
2. Le primaire étant alimenté sous sa tension nominale, le secondaire débite un courant de 19,5 A, sous une tension de 24 V, dans une charge inductive de facteur de puissance égal à 0,6. Calculer :

• a. La chute de tension relative ΔU2−% du secondaire ;
• b. La puissance active fournie à la charge ;
• c. Le rendement du transformateur pour ce fonctionnement, l’ensemble des pertes s’élevant à 32 W
• d. Le facteur de puissance du primaire en approchant la valeur de l’intensité du courant au primaire au cas parfait ;

Modélisation du transformateur réel

Exploitation des essais
A. Essais à vide et en court-circuit
Un transformateur monophasé (11,5 kVA ; 5000/230 V ; 50 Hz) a été soumis aux essais suivants, au cours desquels on a mesuré :

• à vide sous U10 = 5000 V, I10 = 0,2 A, P10 = 300 W ;
• en court-circuit sous U1CC = 500 V, I1CC = 2,3 A, P1CC = 850 W ; I2CC = 50 A ;

1. Calculer le rapport de transformation.
2. Exploitation de l’essai à vide :

• a. Rappeler le schéma du montage de l’essai à vide avec les appareils de mesure utilisés ; préciser les grandeurs physiques nulles.
• b. Quelle est la valeur efficace attendue de la mesure de la tension au secondaire ?
• c. Déterminer Rµ et Lm.

1. Exploitation de l’essai en court-circuit

• a. Retrouver le schéma du montage de l’essai en court-circuit avec les appareils utilisés ; préciser les grandeurs physiques nulles.
• b. Retrouver par le calcul l’intensité efficace du courant secondaire de court-circuit.
• c. Déduire de cet essai les éléments Rs et Xs du modèle équivalent du transformateur transféré au secondaire (modèle équivalent pour la charge).

TD Transformateur Monophasé

B. Essais en charge

• On effectue l’essai en charge (facteur de puissance de la charge inductive : 0,72) sous U1 = 5000 V, et on mesure le courant I2 = 50 A.
• En charge, le transformateur fonctionne dans l’hypothèse de Kapp.
• 1. Donner le modèle équivalent du transformateur pour la charge.
• 1. Déterminer graphiquement la valeur efficace U2 de la tension u2.
• 1. Retrouver cette valeur U2 à partir de la formule approchée de ΔU2.
• ‡ 7. Refaites ce calcul avec une charge résistive, puis capacitive de facteur de puissance 0,8, absorbant le même courant.

C. Bilan de puissance

• On mesure la tension U2 = 225 V
• 1. A partir de l’essai pertinent, quelle est la valeur des pertes magnétiques (ou fer) nominales ?
• 1. Calculer les pertes fer (proportionnelles au carré de U1) et constater qu’elles sont négligeables lors de l’essai en court-circuit. Quelle est la valeur des pertes par effet Joule (ou cuivre) ?
• 1. Calculer le rendement lors de l’essai en charge.

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Ex7 : Documentation technique

• Un essai en courant continu a été effectué sur un transformateur : en imposant U1DC = 6 V, on relève I1DC = 1,2 A en régime permanent (pas de secondaire).
  • 1. Préciser le comportement du transformateur dans ces conditions ;
  • 1. Calculer la résistance R1 de l’enroulement au primaire ;
• La documentation technique du transformateur est fournie en fin d’exercice.
• On souhaite effectuer un essai à vide.
  • 3. A partir de ces informations, remplissez le tableau suivant de l’essai à vide en entourant la valeur de réglage de l’essai :

• 1. Calculer les pertes joules au cours de cet essai et comparez-les pour conclure qu’elles sont négligeables.

• On souhaite effectuer un essai en court-circuit.

  • 5. Remplissez le tableau ci-dessous en entourant la valeur de réglage de l’essai en court-circuit ; En supposant que I1cc ≃ m I2cc
  • 1. Calculez les pertes fer au cours de cet essai et comparez-les pour conclure qu’elles sont négligeables
  • 1. Calculez alors la valeur des éléments RS et XS, résistance et réactance des enroulements vus du secondaire du modèle électrique équivalent.
  • 1. Calculez la valeur du courant au secondaire de court-circuit si le primaire est alimenté à la tension nominale ; conclure.
  • 1. Calculer à partir de la formule approchée la valeur de chute de tension au secondaire dans le cas d’un courant nominal et facteur de puissance 0,8 (inductif). Retrouve-t-on la valeur annoncée par la documentation ?
  • 1. Déterminez alors dans ce cas le rendement du transformateur
  • 1. Quel avantage la méthode de détermination du rendement par pertes séparées a-t-elle par rapport à la méthode directe ?

• Essai en court-circuit à courant secondaire nominal

| P1cc (en W) | U1cc (en V) | U2cc (en V) | I1cc (en A) | I2cc (en A) |

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TD Transformateur Monophasé — Caractéristiques et étude de plaques

Caractéristiques - Valeurs

• Tension primaire nominale (V): 3200
• Tension secondaire à vide (V): 237
• Puissance nominale apparente (kVA): 50
• Pertes fer au nominal (W): 160
• Pertes cuivre au nominal (W): 900
• Tension de CC (% de U1n): 6,5
• Chute de tension au secondaire au nominal (% de U2)
  • pour cosφ2 = 1: 2
  • pour cosφ2 = 0,8 (inductif): 5,11
• Courant magnétisant I10 (% de I1n) au nominal: 2,3

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Ex8 : Étude de la plaque signalétique et schéma électrique équivalent

• Schéma électrique équivalent et plaque signalétique:

  • [Schéma: plaque signalétique et schéma électrique équivalent]

• On donne ci-dessous la plaque signalétique du transformateur :

  • 1500 V ; 230 V
  • En fonctionnement nominal (50 Hz)
  • Primaire: Courant (A) 9,97 ; Puissance apparente (kVA) 14,95
  • Secondaire: Courant (A) 65

• L’essai à vide en alimentation nominale au primaire donne : P10 = 80 W, I10 = 0,1 A

• L’essai en court-circuit sous courant nominal au secondaire donne : P1cc = 500 W, U1cc = 4,2 % U1n

1. Calculer les valeurs de Rµ et Lm du schéma électrique équivalent ;
2. Calculer les valeurs de RS et XS de l’impédance des enroulements ramenés au secondaire du schéma électrique équivalent ;
3. Déterminer les pertes fer et les pertes joules attendues en fonctionnement nominal. Quelles pertes sont négligeables ?

• Application à l’élévation de tension (ex3)
  • 4. Calculer une impédance équivalente au schéma précédent pour la situation du point de vue de l’alimentation et déterminer la valeur efficace de l’intensité de l’alimentation I_EDF ;
  • 1. Calculer l’ensemble des pertes joules (2 transformateurs + transport) et en déduire le rendement de l’ensemble ;

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Travaux dirigés : Systèmes triphasés (Rév : 09-0825122452)

Les paragraphes marqués d’une double obèle (‡) ne seront a priori pas abordés en séance de TD.

Réseau triphasé

• Différents types de réseau

  • Dans le tableau ci-dessous, les deux premières lignes représentent les valeurs caractéristiques d’un réseau « domestique » et d’un réseau HTB. Compléter les cases vides :
    • 230 V
    • 225 kV
  • Nom de la tension : d.d.p. entre
  • Nom de la tension : d.d.p. entre

• Ex1 : Différents types de réseau

• Ex2 : Représentation temporelle

  • 1. Compléter le premier graphique ci-contre avec la courbe de la tension v3.
  • 1. Préciser les valeurs caractéristiques sachant qu’il s’agit d’un réseau 3x400 V à 50 Hz (400 V étant la valeur efficace de la tension composée)
  • 1. Dessiner à l’échelle sur le deuxième graphique la tension composée u12.

Récepteur triphasé

• Récepteur triphasé résistif
  • Forment une résistance équivalente nommée R en fonction du couplage étoile/triangle.
  • 1. Représenter le schéma de couplage du récepteur triphasé (préciser les courants et tensions)
  • 1. Puissance dissipée par effet Joule dans une phase
  • 1. Expression en fonction de r d’une résistance équivalente R mesurée à l’ohmmètre entre deux bornes de phase
  • 1. Puissance dissipée par effet Joule dans l’ensemble triphasé (théorème de Boucherot) en fonction de R et de I
• Applications Numériques : r = 100 Ω / réseau 3x400 V
  • 5. À l’aide de la question 1), calculer l’intensité du courant de phase.
  • 1. À l’aide de la question 1) et 2), calculer la puissance dissipée par effet Joule.
  • 1. Calculer R (à l’aide de la question 3).
  • 1. À l’aide de la question 4), calculer la puissance dissipée par effet Joule.

Plaque signalétique d’un récepteur triphasé

• La plaque signalétique d’un récepteur triphasé indique pour chacun des réseaux correspondant quel couplage il faut choisir pour le faire fonctionner au nominal.
  • Réseau 400 V : Couplage Δ
  • Réseau 690 V : Couplage Y
• 1. Représenter le schéma de couplage pour le réseau U = 400 V en précisant la tension efficace aux bornes d’un des récepteurs monophasés qui composent celui triphasé.
• 1. Même question avec le réseau U = 690 V
• 1. Comparer les deux valeurs précédemment relevées : expliquer pourquoi le récepteur fonctionne dans les deux cas au nominal
• 1. Expliquer ce qui peut se passer si on choisit le couplage triangle avec le réseau U = 690 V
• 1. ‡ Si le récepteur est un moteur, pour le réseau 400 V, on parle de démarrage ou petite vitesse (sous-alimenté) en étoile : expliquer ;

Puissance triphasée

• Relevé de mesures
  • Les trois enroulements d’un récepteur triphasé sont identiques. Couplés en triangle sur un réseau 3x400 V, 50 Hz, les résultats P = 1,2 kW ; Q = 0,69 kVar
  • 1. Quelle est la nature du récepteur ? Justifier
  • 1. Quel est le facteur de puissance du récepteur ?
  • 1. Quelle est la valeur efficace de l’intensité du courant traversant :
    • a. Chaque fil de ligne ?
    • b. Chaque enroulement ?
  • 1. Quelles sont l’impédance, la résistance et l’inductance de chaque enroulement ? Préciser l’association du modèle retenu.

‡ Caractéristiques de bobines

• Sur un réseau triphasé équilibré direct, sans neutre (3x400 V ; 50 Hz), trois bobines identiques en étoile présentent en série une résistance R = 10 Ω et une inductance L = 0,1 H.
  • 1. Calculer l’impédance de chaque bobine
  • 1. Calculer l’intensité des courants de ligne
  • 1. Déterminer pour le groupement les différentes puissances et le facteur de puissance
  • 1. Déterminer la capacité des trois condensateurs en triangle pour relever le facteur de puissance global à 0,93
  • 1. Que devient alors la valeur efficace des courants en ligne ?

Bilan de puissance — Théorème de BOUCHEROT

• Le système de charges raccordées selon la figure suivante est alimenté par une source alternative de 380 V.
  • 1- Calculer la puissance apparente fournie par la source d’alimentation ;
  • 2- Calculer le courant débité par l’alimentation ;
  • 3- déterminer le facteur de puissance de l’ensemble de charges ; quelle est la tendance de cette charge ?
  • 4- Représenter dans un graphe : les puissances actives et réactives consommées par les récepteurs ainsi que la puissance apparente fournie par la source.

Étude d’un atelier

• L’atelier d’un artisan comporte :
  • 1- un moteur triphasé dont les caractéristiques sont les suivantes : Puissance utile PU = 2 kW ; Rendement η = 92 % ; cos φ = 0,80.
  • 2- un radiateur électrique triphasé composé de 3 résistances identiques. Les caractéristiques d’une résistance = 230 V / 120 Ω. Cet artisan dispose du réseau : 230 V / 400 V - 50 Hz.
• A. Étude du radiateur électrique
  • A.1 Comment faut-il coupler les trois résistances du radiateur sur le réseau ?
  • A.2 Rappeler le facteur de puissance d’une résistance.
  • A.3 Calculer la valeur efficace Ir des courants circulant dans chaque résistance.
  • A.4 Tracer les diagrammes vectoriels de Fresnel :
    • A.4.1 des tensions simples v1N(t), v2N(t) et v3N(t).
    • A.4.2 des courants circulant dans chaque résistance i1(t), i2(t) et i3(t).
  • A.5 Calculer pour ce radiateur : la puissance active Pr et la puissance réactive Qr.
• B. Étude électrique du moteur asynchrone
  • B.1 À partir du rendement, la puissance active Pm.
  • B.2 La valeur efficace des courants en lignes Im.
  • B.3 La puissance réactive Qm.
• C. Étude de l’ensemble moteur et radiateur
  • C.1 Puissance active P, puissance réactive Q et puissance apparente S.
  • C.2 Valeur efficace I des courants en ligne ;
  • C.3 Facteur de puissance cos φ
• D. Relèvement du facteur de puissance
  • D.1 Rappeler l’expression de la puissance réactive absorbée par un condensateur de capacité C soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace V et de la pulsation ω.
  • D.2 Calculer la valeur de la capacité C destrois condensateurs à placer en triangle telle que le facteur de puissance de l’installation moteur, radiateur et condensateur soit égale à 0,96.
  • D.3 Calculer alors la nouvelle valeur efficace des courants en ligne.

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Étude d’une installation triphasée

• Un atelier est alimenté par une distribution triphasée (3x400 V ; 50 Hz). L’éclairage est assuré par des tubes fluorescents identiques, dipôles alimentés sous 230 V.
• A. Équilibre de l’installation
  • 1. Comment répartir les tubes sur les phases d’alimentation pour assurer l’équilibre ?
  • 1. Faire le schéma de raccordement à l’installation en respectant la tension d’alimentation ;
• B. Fonctionnement normal d’un tube
  • Ptube = 40 W sous 230 V, fp1 = 0,85 ; ensemble de 24 tubes fluorescents alimentés entre la ligne 1 et le neutre.
  • 1. Déterminer P1 absorbée par l’ensemble des 24 tubes.
  • 1. En déduire la valeur efficace I1 de l’intensité du courant appelé par l’ensemble des 24 tubes ;
• 1. Équilibre 3 groupes de 24 tubes sur les trois phases du réseau triphasé (éq. montage étoile)
  • 1. Déterminer Ptot absorbée
  • 1. En déduire la valeur efficace de l’intensité du courant dans les fils de ligne quand les trois groupes fonctionnent simultanément.
  • 1. Quelle est la puissance réactive totale Qtot consommée par l’installation
• C. A l’allumage de ces groupes
  • Le facteur de puissance est dégradé et il ne vaut plus que fp2 = 0,35. Sachant que la puissance active consommée est inchangée :
    • 4. Déduire la valeur du nouveau facteur
    • 1. Calculer la nouvelle valeur efficace des courants en ligne.

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Note: Les paragraphes marqués de ‡ ne seront pas abordés en TD (réservés à l’étude guidée).
Images et schémas présents dans le document ont été indiqués lorsque nécessaire: [Schéma: plaque signalétique et schéma électrique équivalent], [Schéma: plaque signalétique d’un récepteur triphasé].

TD systèmes triphasés

8. Calculer la valeur efficace de l’intensité du courant de ligne au démarrage Idém

• 1. Calculer la valeur efficace de l’intensité du courant de ligne au démarrage Idém
• 1. Calculer la puissance réactive totale au démarrage Qdém

D. Ensemble de l’atelier

En fait, l’atelier est constitué de machines-outils entraînées par des moteurs asynchrones triphasés identiques dont les caractéristiques sont les suivantes : Pméca = 5 kW avec un rendement de 90 % ; fpmot = 0,78 ;

• 10. Raccorder les moteurs à l’installation précédente (symbole ci-dessus) ;
• 1. Calculer la puissance réactive Qmot absorbée par un moteur.
• 1. Calculer les puissances active Ptot et réactive Qtot absorbées parl’atelier lorsque 10 moteurs et les 3 groupes de 24 tubes fluorescents fonctionnent normalement
• 1. En déduire la valeur efficace de l’intensité du courant I dans les fils de ligne qui alimentent l’atelier

‡ Compensation d’énergie réactive
Il est proposé une installation reliée au fournisseur d’énergie EDF sous U = 400 V ; 50 Hz ayant le bilan de puissance suivant :

A. Choix de batterie de condensateurs

• 1. Après avoir rappelé la puissance active PC des condensateurs supposés parfaits, déduire la puissance active totale Ptot consommée par l’installation ;
• 1. Déterminer la puissance réactive QC des condensateurs ;
• 1. Justifier la compensation en calculant le facteur de puissance de l’installation et celui d’EDF ;
• 1. Déterminer la valeur de la capacité des condensateurs sachant qu’ils sont couplés en triangle ;

B. Machine Synchrone à vide pour compenser l’énergie réactive

En réalité, la puissance réactive varie au cours de la journée d’exploitation de l’installation. Une ancienne méthode consiste à utiliser une machine électrique dite machine synchrone « à vide ». La machine synchrone à électro-aimant au rotor est une machine triphasée dont le schéma électrique équivalent est en série une source de tension réglable E, une inductance L et une résistance R, ici couplé en triangle, représenté ci-dessous. Ce couplage en triangle maximise la puissance réactive fournit pour effectuer la compensation, mais est généralement étudié en effectuant la transformation du schéma de triangle à étoile. Il sera par ailleurs négligé l’influence de la résistance R.

• 5. Donner l’expression de E’ en fonction de E et l’expression de L’ en fonction de L pour que l’ensemble soit équivalent ;
• 1. Rappeler la relation liant V, E’, I et L’; Montrer que le réglage de E’ fixe le déphasage V-I pour V et I donnés. Tracer alors la relation vectorielle lorsque V⃗ et I⃗ sont en quadrature de phase (2 solutions).
• 1. Du résultat précédent, expliquez dans quel cas la Machine Synchrone peut remplacer les condensateurs de la partie A ;
• 1. Calculez pour ce cas la valeur de E’ tel qu’une phase produise 230 kVAR sous la tension simple V. La MS est dite « surexcitée ».
• 1. Déterminez alors quelle est la puissance réactive produit par l’ensemble de la machine synchrone.

C. Fonctionnement d’un gradin de condensateur

Le gradin de condensateur est une méthode plus moderne de répondre aux variations de puissance réactive à compenser. Un gradin est composé de plusieurs sous-ensembles de condensateurs qui peuvent être raccordé ou séparé par des interrupteurs commandés automatiquement. Le schéma de principe est présenté ci-dessous : Avec CA = CB = 1,6 µF et CC = 3,2 µF

• 10. Expliquez pourquoi les 3 interrupteurs A ou B ou C doivent être respectivement commandés simultanément ;
• 1. Précisez les énergies réactives compensées suivant les différentes configurations des interrupteurs (A seul, A+C, A+B+C) ;
• Au cours de la journée, l’installation consomme 2500 kW et 1500 kVAR
• 1. Déterminer quels interrupteurs doivent être fermés pour améliorer au mieux le facteur de puissance vu par EDF (installation + gradins) ;
• 1. Calculer les valeurs efficaces des courants circulant en amont IEDF et aval Itot des gradins ;
• 1. Calculer les valeurs efficaces des courants IA, IB, et IC circulant dans les gradins ;
     EDF impose un facteur de puissance supérieur à 0,95 pour ne pas subir de pénalités financières à la facturation
• 1. Déterminer les cas où quel que soit la configuration des interrupteurs sous 2500 kW, l’exigence EDF n’est pas respectée ;

‡ Récepteur déséquilibré
On considère la charge suivante : La phase 3 est déconnectée (circuit ouvert entre l’impédance et la phase) entraînant le déséquilibre de l’alimentation.

• 1. Que vaut le courant circulant dans l’impédance qui était reliée à la phase 3 ?
• 1. Déterminer quelle est la tension aux bornes des 2 autres impédances (et déterminer quel type d’association il s’agit) ;
• 1. En déduire la tension aux bornes d’une des impédances (sachant qu’elles sont égales par ailleurs) ;
• 1. En déduire la valeur du courant par rapport à l’alimentation normalement équilibrée ;
• 1. ‡ Pourquoi la connexion du neutre n’engendre pas ces problèmes ?

Travaux dirigés : ALI et Filtres Actifs
Les paragraphes marqués d’un double obèle (‡) ne seront a priori pas abordés en séance de TD.

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Filtres passifs

AN : R = 1,1 kΩ ; L = 1 mH ; C = 10 nF

• 1. Démontrez qu’il s’agit d’un deuxième ordre composé de deux facteurs de 1er ordre ;
• 1. Trouvez les 2 pulsations caractéristiques de 1er ordre correspondant : (jω + ωc1)(jω + ωc2)
• 1. Placer ces pulsations sur l’axe des abscisses du diagramme de Bode et tracer la courbe de gain et de phase.
• 1. Déterminer la valeur du gain à la pulsation naturelle ;
• 1. Est-ce que ce filtre respecte les contraintes du gabarit ci-dessous (zone barrée interdite) ?
• 1. Pour quelles valeurs de R le filtre a un comportement résonant (en tension) ?

‡ Filtre passif passe-haut
On se propose d’étudier le filtre suivant dont la transmittance est exprimée ci-dessous :
T = (jω)/(ωc1) · 1 / (1 + jω/ωc2)
On prendra ωc1 = 100 rad/s et ωc2 = 10 rad/s

• 1. Exprimer la transmittance T comme un produit de deux transmittances T1 et T2 déjà étudiée dans le cours ;
• 1. Donner le tracé asymptotique des diagrammes de Bode de ces deux transmittances T1 et T2 ;
• 1. En déduire le diagramme de Bode de T

Sonde atténuatrice d’un oscilloscope
Le schéma de principe d’une sonde attenuatrice (que vous allez utiliser en TP au semestre 2) est le suivant :

• 1. Déterminer la fonction de transfert T en fonction de R1, R2 et C1, C2 : T = Vs / Ve
• 1. La mettre sous la forme suivante en donnant l’expressions de T0, ω1 et ω2 : T = T0 ( (jω/ω1) / (jω/ω2) )
• 1. Faire les tracés asymptotiques en gain et en phase du diagramme de Bode en supposant ω1 << ω2 (par exemple une décade) ;
• 1. Refaites les tracés asymptotiques pour ω1 = ω2 ;
• 1. Sachant que l’on veut visualiser à l’oscilloscope un signal vs strictement identique à ve, que faut-il imposer comme condition sur T0, ω1 et ω2 ;

Diagramme de Bode
Déterminer le diagramme de Bode associé à la fonction de transfert ; donner la pulsation de coupure des 0 dB dans chaque cas.

• 1. ‡ Avec K = 1 ; ω1 = 4.103 rad/s ; ω2 = 2.104 rad/s ; ω3 = 1.103 rad/s
• 1. ‡ Avec K = 100 ; ω1 = 8.106 rad/s ; ω2 = 8.105 rad/s ; ω3 = 2.103 rad/s
• 1. Avec K = 10 ; ω1 = 4.103 rad/s ; ω2 = 4.104 rad/s ; ω3 = 2.103 rad/s

Filtrage du second ordre
Le montage suivant est un filtre passif avec les composants suivants : R = 220 Ω et C = 1 µF.
-20 dB
106
0 dB
GdB
ω (rad.s^-1)

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TD AOP et filtres actifs

F. Garnier / A. Allouch / C. Dubegny - U.E. Physique et Energétique

Amplificateurs Opérationnels en régime linéaire
Montage d’AOPs
Il est possible d’associer différents montages d’AOP pour réaliser des fonctions évoluées. Il est proposé de mettre en forme le signal issu d’un capteur qui a l’allure suivante :
Cahier des Charges :
On désire transmettre ce signal sur une entrée analogique d’un Automate Programmable Industriel (A.P.I.) qui va traiter numériquement l’information :

• En entrée de l’API, le signal doit être et utiliser toute la plage de valeur [0 ; 10 V]
• En entrée de l’API, la résistance est très faible ;

1. Déterminer la transformation mathématique que doit subir le signal
2. En utilisant les montages de base du cours, déterminer le montage nécessaire ainsi que des valeurs caractéristiques.

Montage sommateur inverseur
On désire étudier le montage ci-dessous, dont l’AOP est supposé parfait, alimenté par des tensions de valeurs ±14 V (tension de saturation).

1. Que peut-on déduire de l’AOP pour i+ et i- ? En déduire la chute de tension dans R4 ;
2. On suppose un fonctionnement linéaire de l’amplificateur opérationnel :

• a. Justifier cette affirmation
• b. Déterminer le résultat du théorème de Millman en v- ;
• c. De la question 1), en déduire la valeur de vs en fonction de v1 et v2 et justifier le nom du montage ;
  On pose R = R1 = R2 et on donne R3 = 10 kΩ ;

1. Trouver R pour avoir une amplification de la somme égale à 10 ;
2. Entre quelles limites peut varier la somme des tensions d’entrées v1+v2 pour que le fonctionnement de l’AOP reste linéaire ?
3. On donne le graphe ci-dessous des tensions v1 et v2, en déduire la forme de vs :

Filtrage actif
Afin d’obtenir la valeur moyenne de ue (signal d’entrée du montage), on utilise le filtre actif ci-dessous :

1. Déterminer l’expression de l’impédance complexe Zeq, résultant de l’association parallèle de R2 et C.
2. Montrer que la fonction de transfert T = Us / Ue du montage, en donnant l’expression de K et ω0 en fonction des éléments du montage, peut s’exprimer sous la forme : T = −K / ( (jω/ω0) + jω/ω0 ) (note: forme typique d’un filtre active)
3. Déterminer l’expression du module T de T et du gain G (en dB) correspondant du filtre en fonction de K et ω0 ;
4. Quel est le type de ce filtre ? Justifier
5. Déterminer les expressions de la valeur maximale Gmax du gain G et de la fréquence de coupure fc à -3 dB en fonction des éléments du montage
6. Choisir R1 et R2 pour avoir fc = 10 Hz et Gmax = 2 dB sachant que C = 100 nF. En déduire le gain pour f = 100 Hz
7. Faites les tracés asymptotiques du diagramme de Bode correspondant donnant les variations de G en fonction de f, puis donner l’allure de la courbe réelle en exploitant les questions précédentes.

‡ Autre filtrage actif
Reprendre les questions de l’exercice précédent en mettant la fonction de transfert sous la forme :
T = − jω/ω0 / (β + jω/ω0)

Deux cellules CR
On considère le circuit ci-contre :
ve(t) (tension d’entrée) et vs(t) (tension de sortie) sont des signaux sinusoïdaux de pulsation ω. On peut donc travailler en notation complexe.

• A.N. : R1 = 100 Ω ; C = 1 µF ;

• A. Il est d’abord pris R2 = 100 R1
  Dans ces conditions, l’intensité du courant dans R2 est négligeable.
  1- Appliquer une relation de pont diviseur de tension entre ve et la tension aux bornes de R1, puis de cette tension avec vs ;
  2- Comment est associée la cellule C-R1 avec la cellule C-R2 ?

• [Schéma: schéma électrique correspondant à deux cellules CR]

Note: Les paragraphes marqués d’un double obèle (‡) ne seront a priori pas abordés en séance de TD.

TD AOP et filtres actifs

F. Garnier / A. Allouch / C. Dubegny

3- Déterminer les pulsations de cassures du diagramme de Bode asymptotique et tracer-le

• B. Il est pris R2 = R1 ; notées R :

4- Quelle hypothèse est manquante pour considérer les 2 cellules CR en cascade ?

5- Calculer la transmittance, identifier les paramètres caractéristiques ;

6- Calculer le gain à la pulsation naturelle et tracer le diagramme de Bode correspondant ;

7- De quel type de filtre s’agit-il (ordre ; nature) ?

C. Ajout d’un montage ALI avec R2 = R1

8- Quel montage ALI entre les 2 cellules permettrait de les découpler et ainsi vérifier l’hypothèse de la question 4 ?

9- Tracer alors le diagramme de Bode asymptotique correspondant ;

AOP en régime non-linéaire

Comparateur à hystérésis

Il est proposé d’étudier le montage du cours avec R1 = 1 kΩ et R2 = 6 kΩ et ±Vsat = ±14 V :

A. Hypothèse 1 : on a vs = +Vsat ;

1. Exprimer le potentiel v+ en fonction de vs
2. En déduire le signe de vd suivant ve
3. Indiquer pour quelles valeurs de ve l’hypothèse 1 n’est pas vérifiée

B. Reprenez les questions 1-2-3 avec l’hypothèse n°2 : vs = -Vsat ;

1. Résumer les résultats sous forme de diagramme de transfert dans le cours ;
2. Tracer la courbe vs suivant le courbe ve présentée ci-dessous à partir de t0 :

• 2 V
• -2 V
• t0

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TD AOP et filtres actifs (suite)

F. Garnier / A. Allouch / C. Dubegny

Exercice 1 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 2

Travaux dirigés : Régime déformé

Rév : 07-2424160821

Les paragraphes marqués d’un double obèle (‡) ne seront a priori pas abordés en séance de TD.

Signal périodique

‡ Signal sinusoïdal avec offset

On suppose un signal sinusoïdal avec une composante continue qui peut s’exprimer par :
u(t) = [formule non lisible]
Donner la valeur moyenne, la valeur efficace de l’ondulation, et en déduire la valeur efficace U de la tension.

Signal redressé

On considère un signal redressé défini tel que :
u(t) = Vmax|sin(ωt)|
Remarque : T’ = T/2 où T est la période de la sinusoïdale non redressée.
En fonction de l’amplitude du signal Vmax, exprimez :

1. la valeur moyenne 𝑢
2. la valeur efficace U

‡ Signal carré

Un récepteur est alimenté par un réseau sinusoïdal (V = 230 V, 50 Hz) absorbe un courant i(t) d’amplitude I = 10 A, décalé dans le temps d’un douzième de période par rapport à la tension v(t) du réseau.

1. Déterminer la valeur moyenne et la valeur efficace du courant absorbé et le fondamental du courant ;
2. En déduire la valeur de la puissance apparente S.

Harmoniques et Spectre d’un signal

Description d’un spectre

Une tension périodique de période T a pour développement de Fourier :
v(t) = [valeurs non entièrement lisibles dans l’extrait] + 5 sin(ω1 t) + 4? sin(3 ω1 t) + …

1. Rappeler l’expression générale du développement en série de Fourier d’un signal périodique quelconque s(t) en électrotechnique
2. Quelles propriétés de symétrie doit vérifier la composante alternative de la tension v(t) vu le développement de Fourier proposé ?
   À partir du développement en série de Fourier de l’énoncé :
3. Que vaut la valeur moyenne v ?
4. Quelle est l’expression de son fondamental (valeur efficace et phase à l’origine) ?

En fait, cette tension v(t) est utilisée pour alimenter le circuit R-L série ci-dessous :
Données : R = 5 Ω ; L = 0,02 H ; ω1 = 500 rad/s
L’expression générale du courant i(t) est de la forme (car le circuit est linéaire) :
i(t) = i + I1 sin(ωt − φ1) + I3 sin(3ωt − φ3) + …
5. Des lois de comportement général, donner une relation liant v(t) à i(t) en fonction de R et L ; en déduire l’expression de la valeur moyenne i et calculer sa valeur.
6. En analyse harmonique, donner l’expression de l’impédance équivalente Z(jω) au circuit R-L série et calculer sa valeur pour le fondamental et l’harmonique de rang 3
7. En déduire l’expression puis la valeur de I1 et φ1, I3 et φ3 ;
8. En appliquant le théorème de superposition, déduire l’expression de i(t) et son spectre.

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TD Régime Déformé

F. Garnier / A. Allouch / C. Dubegny

Ex5 : Étude d’une tension créneau

On considère la tension u(t) dont l’allure est représentée ci-dessous (avec E = 100 V)

1. Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace
   La décomposition en série de Fourier de la tension u(t) est de la forme suivante :
   u(t) = (4E)/π ∑ (1/(2n+1)) sin[(2n+1)ωt]
2. Donner l’expression littérale des rangs n des harmonique s : quelle symétrie est vérifiée ?
3. Calculer les pulsations et amplitudes du fondamental et des 3 harmoniques suivantes non nulles
4. En déduire une représentation du spectre harmonique de la tension u(t)
5. Calculer le taux de distorsion harmonique de tension THDu

Étude d’un dipôle non-linéaire de spectre connu

‡ Étude d’un dipôle non-linéaire de spectre connu
Un dipôle non-linéaire alimenté sous une tension sinusoïdale v(t) (230 V – 50 Hz) absorbe un courant i(t) dont le spectre représenté ci-dessous a été mesuré à l’aide d’un analyseur d’harmoniques :
Les composantes harmoniques sont indiquées en décibel, c’est‑à‑dire que chaque valeur notée représente : In (en dB) = 20 log10(Ineff)

1. Annoter sous chaque bâton du diagramme le rang n de l’harmonique correspondant
2. Calculer les valeurs (en ampères) du fondamental et des diverses composantes harmoniques du courant ;
3. En déduire la valeur du taux de distorsion harmonique du courant THDi
4. En déduire aussi la valeur efficace I du courant.

Puissances en régime déformé

Étude d’un dipôle non-linéaire de spectre connu (suite)
On reprend les valeurs trouvées à l’exercice précédent.
L’analyseur indique une puissance active consommée P = 1380 W.

1. Calculer le déphasage φ1 entre le fondamental du courant et la tension
2. En déduire l’expression puis la valeur de la puissance réactive Q consommée par le dipôle
3. Calculer la puissance apparente S du dipôle, le facteur de puissance et la puissance déformante D mise en jeu.

Utilisation d’un variateur de vitesse

L’utilisation d’un convertisseur alimentant un moteur asynchrone peut avoir des conséquences néfastes sur le réseau d’alimentation électrique, notamment en termes de pollution harmonique.
On s’intéresse donc dans cet exercice aux grandeurs d’entrée du variateur afin d’évaluer le degré de pollution occasionné.
Mise en garde : le variateur de vitesse considéré est alimenté par le réseau triphasé 230V/400V, 50 Hz. Par contre, l’étude se base sur des relevés effectués à l’aide d’un analyseur de réseau monophasé, recevant la tension simple vA(t) du réseau et le courant de ligne iA(t) absorbé par le convertisseur (voir les écrans en page suivante) d’une des phases.
Sur cet analyseur, l’indication de puissance en kVAR contient les deux puissances sqrt(Q^2 + D^2) (écran n°2).

[Image: Diagramme non affiché dans le texte extrait]

Notes:

• Le texte ci-dessus reproduit les points et questions tels qu’ils apparaissent dans le document, en conservant l’ordre et le libellé principaux.
• Des formules exactes murales (notamment dans les sections Harmoniques et Séries de Fourier) sont partiellement lisibles dans l’image et peuvent contenir des caractères spéciaux mal encodés; pour une copie fidèle, se référer à l’image originale.

TD Régime Déformé

F. Garnier / A. Allouch / C. Dubegny - 3 - U.E. Physique et Energétique

Analyse des courants absorbés

• A l’aide des indications fournies par l’analyseur (écran n°1), donner la valeur efficace I du courant de ligne ia(t) et évaluer sa valeur maximale Î.
  • [Image: Oscilloscope affichant ia(t) et sa valeur efficace]
• Relever également la valeur efficace I1 de son fondamental (écran n°3)
• Donner les fréquences des quatre harmoniques de courant les plus polluants (les plus élevées en valeur efficace) et estimer leur valeur efficace grâce au spectre de ia(t) (écran n°3)
  • [Image: Spectre de ia(t) montrant les harmoniques sur l'écran 3]
• Calculer le taux de distorsion harmonique THDi que représentent ces quatre rangs. Comparer ce résultat à celui annoncé par l’appareil (écran n°3)
• Citer une solution permettant de réduire les harmonniques de courant prélevés au réseau

A. Conséquences sur les puissances

• Relever la valeur du facteur de déplacement cosφ1, puis esquisser la forme du fondamental de ia(t) sur le relevé d’oscilloscope (écran n°1)
• Vérifier par le calcul les valeurs de P, Q et S annoncées par l’analyseur (écran n°2)
• En déduire la puissance déformante D
• Vérifier le facteur de puissance fp affiché par l’appareil et commenter sa valeur
• [Image: Analyseur affichant P, Q et S sur l'écran 2]