📚 Notes de Cours – Électricité Appliquée (Régime Sinusoïdal & Systèmes Électriques)

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1. En-tête (Méta-données)

• Matière / Sujet : Électricité Appliquée (Régime Sinusoïdal, Transformateurs, Triphasé, Filtres Actifs, Régime Déformé)
• 📅 Date : 2025-2026
• Titre du Cours : Polycopié CMA – Électricité Appliquée (2ème année ESTACA)
• 👨‍🏫 Intervenants : Frédéric Garnier, Alaa Allouch, Christophe Dubegny, Nabil Ouail

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2. 📝 Notes de Cours

I. Régime Permanent Sinusoïdal Alternatif

1. Représentation des Grandeurs Sinusoïdales

• Expression instantanée :
  $u(t) = \hat{U} \sin(\omega t + \theta_u)$

  • $\hat{U}$ : Amplitude (valeur crête).
  • $\omega = 2\pi f$ : Pulsation (rad/s).
  • $\theta_u$ : Phase à l’origine (rad).

• Valeur efficace :
  $U = \frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}$

• Déphasage entre $u(t)$ et $i(t)$ :
  $\varphi = \theta_v - \theta_u$

• Représentation complexe :

  • Relation d’Euler : $u(t) = \text{Im}\{\hat{U} \cdot e^{j(\omega t + \theta_u)}\}$.
  • Grandeur complexe : $\underline{U} = U e^{j\theta_u}$.

• Vecteur de Fresnel :

  • Norme = valeur efficace.
  • Orientation = phase à l’origine.
  • Rotation via $e^{j\omega t}$.

2. Impédance Complexe & Loi d’Ohm

• Définition :
  $Z = \frac{\underline{U}}{\underline{I}} = R + jX$
  • $R$ : Résistance (réelle).
  • $X$ : Réactance (imaginaire).
• Module et déphasage :
  $|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}, \quad \varphi = \arg(Z) = \arctan\left(\frac{X}{R}\right)$
• Cas particuliers :

  Dipôle	Impédance $Z$	Déphasage $\varphi$
  Résistance	$R$	$0$
  Inductance	$j\omega L$	$+\pi/2$
  Capacité	$\frac{1}{j\omega C}$	$-\pi/2$

3. Puissances en Monophasé

• Triangle des puissances :
  $S^2 = P^2 + Q^2$

  • Puissance active $P$ (W) : $P = UI \cos \varphi$.
  • Puissance réactive $Q$ (VAR) : $Q = UI \sin \varphi$.
  • Puissance apparente $S$ (VA) : $S = UI$.
  • Facteur de puissance : $fp = \cos \varphi = \frac{P}{S}$.

• Méthode de Boucherot :
  $P_{tot} = \sum P_i, \quad Q_{tot} = \sum Q_i$

  • $S_{tot} \leq \sum S_i$ (inégalité vectorielle).

• Compensation d’énergie réactive :

  • But : Réduire $Q$ via un condensateur.
  • Dimensionnement :
    $C = \frac{P_{tot} (\tan \varphi_{av} - \tan \varphi_{ap})}{U^2_{alim} \cdot \omega}$

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II. Transformateur Monophasé

1. Principe de Fonctionnement

• Convertisseur AC-AC par couplage magnétique.
• Rapport de transformation :
  $m = \frac{N_2}{N_1} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{I_1}{I_2}$
  • Transformateur parfait : $S_1 = S_2$, $\eta = 1$.

2. Modèle Électrique

• Transfert d’impédance :
  $Z_{eq} = \frac{Z_c}{m^2}$
• Formule de Boucherot (flux forcé) :
  $U_1 = 4.44 f N_1 \bar{\Phi}$

3. Transformateur Réel

• Pertes :
  • Cuivre ($p_J = R_1 I_1^2 + R_2 I_2^2$).
  • Fer ($p_{Fe} = \frac{U_1^2}{R_\mu}$).
• Schéma équivalent :
  • Essai à vide : Détermination de $m$, $R_\mu$, $L_m$.
  • Essai en court-circuit : Détermination de $R_S$, $X_S$.
• Chute de tension :
  $\Delta U_2 \approx I_2 (R_S \cos \varphi_2 + X_S \sin \varphi_2)$

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III. Systèmes Triphasés

1. Généralités

• Système équilibré : 3 tensions/courants de même fréquence, déphasés de $2\pi/3$.
• Tensions :
  • Simples ($V$) : Entre phase et neutre.
  • Composées ($U$) : Entre deux phases. Relation : $U = V \sqrt{3}$.

2. Couplages

3. Puissances

• Formules générales (équilibré) :
  $P = U I \sqrt{3} \cos \varphi, \quad Q = U I \sqrt{3} \sin \varphi, \quad S = U I \sqrt{3}$
• Comparaison Δ vs Y : $P_\Delta = 3 P_Y$ pour même $Z$.

4. Mesures

• Méthode des deux wattmètres :
  $P = W_1 + W_2, \quad Q = \sqrt{3} (W_1 - W_2)$

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IV. Filtres Actifs et ALI

1. Quadripôles et Filtres

• Transmittance :
  $T(j\omega) = \frac{U_s}{U_e}$
• Diagramme de Bode :
  • Gain : $G_{dB}(\omega) = 20 \log_{10} |T(j\omega)|$.
  • Phase : $\varphi(\omega) = \arg(T(j\omega))$.

2. Filtres du 2ème Ordre (RLC)

• Transmittance normalisée :
  $T(j\omega) = \frac{1}{1 + \frac{1}{Q} \cdot \frac{j\omega}{\omega_n} + \left(\frac{j\omega}{\omega_n}\right)^2}$
  • $\omega_n = \frac{1}{\sqrt{LC}}$, $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$.
  • Résonance si $Q > \frac{1}{\sqrt{2}}$ : $\omega_r = \omega_n \sqrt{1 - \frac{1}{2Q^2}}$.

3. AOP en Régime Linéaire

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V. Régime Déformé

1. Décomposition de Fourier

• Signal périodique :
  $s(t) = \hat{s} + \sum_{n=1}^{\infty} \hat{S}_n \sqrt{2} \sin(n \omega t + \varphi_n)$
  • Théorème de Parseval : $S^2 = \hat{S}^2 + \sum_{n=1}^{\infty} S_n^2$.
  • THD : $\text{THD} = \frac{\sqrt{\sum_{n=2}^{\infty} S_n^2}}{S_1}$.

2. Puissances

• Puissance déformante $D$ :
  $D = \sqrt{S^2 - P^2 - Q^2}$
  • Théorème de Boucherot : $P = U_1 I_1 \cos \varphi_1$ (si tension sinusoïdale).

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3. 🧠 Zone de Révision

🔑 Mots-clés / Concepts

• Régime sinusoïdal : Impédance complexe, vecteur de Fresnel, triangle des puissances, Boucherot, compensation réactive.
• Transformateur : Rapport de transformation $m$, essais à vide/court-circuit, chute de tension, pertes cuivre/fer.
• Triphasé : Tensions simples/composées, couplages Y/Δ, puissance, méthode des deux wattmètres.
• Filtres : Transmittance, diagramme de Bode, résonance, AOP (suiveur, inverseur, intégrateur).
• Régime déformé : Décomposition de Fourier, THD, puissance déformante $D$.

❓ Quiz d’Auto-Évaluation

1. Calculer l’impédance complexe d’un circuit RLC série avec $R=10\ \Omega$, $L=50\ \text{mH}$, $C=100\ \mu\text{F}$ à $f=50\ \text{Hz}$.
2. Expliquer pourquoi un transformateur ne fonctionne pas en courant continu.
3. Démontrer la relation $U = V \sqrt{3}$ en triphasé équilibré.
4. Décrire le fonctionnement d’un filtre passe-bas du 2ème ordre (RLC) et son diagramme de Bode.
5. Calculer le THD d’un signal créneau de valeur efficace $U=100\ \text{V}$.

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4. 💡 Résumé Synthétique

Ce cours couvre les fondamentaux de l’électricité appliquée en régime sinusoïdal et déformé, avec une approche théorique et pratique (transformateurs, triphasé, filtres actifs). Les concepts clés incluent :

• L’impédance complexe et les puissances ($P$, $Q$, $S$) en monophasé/triphasé.
• Le transformateur (parfait/réel) et ses essais normalisés (vide, court-circuit).
• Les systèmes triphasés (couplages Y/Δ, puissances, mesures).
• Les filtres actifs (transmittance, AOP) et le régime déformé (Fourier, THD).

Objectif : Maîtriser les outils mathématiques (complexes, vecteurs de Fresnel) et les applications industrielles (compensation réactive, dimensionnement de transformateurs, analyse harmonique).