Calcul Littéral

📅 Date : Aujourd'hui
Titre du Cours : Développement et Factorisation
👨‍🏫 Intervenant : Non précisé

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📝 Notes de Cours

1. Somme et Produit

• Définitions :

  • Développer : Transformer un produit en somme.
  • Factoriser : Opération inverse (somme → produit).

• Exemples :

  • Sommes/Différences : x - 3, (2x + 4) + 3x, (5x) - (9 + 9x).
  • Produits : (6x + 1)(x - 1), 2(1 + 6x), x(8 - x)(2 + x).

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2. Développement

2.1 Distributivité Simple

• Formule : a(b + c) = ab + ac.

• Règles des signes :

  • + × + = +
  • - × - = +
  • + × - = -
  • - × + = -

• Exemples :

  • A = 4(5 + x) = 20 + 4x
  • B = 5(x - 2) = 5x - 10
  • C = -x(2 - 3x) = -2x + 3x²
  • D = -(5 - x) = -5 + x

2.2 Double-Distributivité

• Formule : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

• Exemples :

  • A = (2x + 3)(x + 8) = 2x² + 19x + 24
  • B = (-3 + x)(4 - 5x) = -5x² + 19x - 12
  • C = 2(3 + x)(3 - 2x) = -4x² - 6x + 18

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3. Factorisation

3.1 Facteur Commun Simple

• Méthode : Identifier et extraire le facteur commun.

• Exemples :

  • A = 3,5x - 4,2x + 2,1x = 1,4x
  • B = 4t - 5tx + 3t = t(7 - 5x)
  • C = 4x - 4y + 8 = 4(x - y + 2)

3.2 Facteur Commun Apparent

• Méthode : Réécrire si nécessaire pour faire apparaître le facteur commun.

• Exemples :

  • A = 3(2 + 3x) - (5 + 2x)(2 + 3x) = (2 + 3x)(-2 - 2x)
  • B = (2 - 5x)² - (2 - 5x)(1 + x) = (2 - 5x)(1 - 6x)
  • C = 5(1 - 2x) - (4 + 3x)(2x - 1) = (1 - 2x)(9 + 3x) (car (2x - 1) = -(1 - 2x))

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4. Identités Remarquables

4.1 Propriétés

• Formules :
  • $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  • $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
  • $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

4.2 Développement avec IR

• Exemples :

  • A = (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9
  • B = (3x - 4)^2 = 9x^2 - 24x + 16
  • C = (x - 3)(x + 3) = x^2 - 9

• Combinaison avec réduction :

  • A = (2x - 3)^2 + (x + 5)(3 - x) = 3x^2 - 14x + 24

4.3 Factorisation avec IR

• Méthode 1 : Identifier a² ± 2ab + b² ou a² - b².

• Exemples :

  • A = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2
  • B = 4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2
  • C = 9x^2 - 4 = (3x - 2)(3x + 2)

• Méthode 2 : Utiliser les IR avec facteur apparent.

• Exemples :

  • A = (2x + 3)^2 - 64 = (2x - 5)(2x + 11)
  • B = 1 - (2 - 5x)^2 = (-1 + 5x)(3 - 5x)

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🧠 Zone de Révision

🔑 Mots-Clés / Concepts

• Développement, factorisation, distributivité simple/double, identités remarquables.
• Formules clés : a(b + c) = ab + ac, (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd, $(a ± b)^2$, $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
• Règles des signes : + × - = -, - × - = +.

❓ Quiz d'Auto-Évaluation

1. Développer : (3x - 2)(x + 4).
2. Factoriser : x² - 6x + 9.
3. Quelle est l'identité remarquable utilisée pour développer (5 - 2x)² ?
4. Factoriser : 4x² - 25.
5. Développer et réduire : 2(x - 3) + (x + 1)(x - 1).

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💡 Résumé Synthétique

Le calcul littéral repose sur deux opérations clés : développer (produit → somme) et factoriser (somme → produit). La distributivité (simple ou double) et les identités remarquables sont des outils fondamentaux pour manipuler les expressions algébriques. La maîtrise des règles des signes et la reconnaissance des facteurs communs ou des formes remarquables permettent de simplifier et résoudre des équations complexes. Ces techniques sont essentielles pour aborder l'algèbre avancée et les résolutions d'équations.