🧮 Fiche de Révision : Calcul Littéral (Développement & Factorisation)

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🔤 1. Définitions Fondamentales

Quelle est la différence entre une somme et un produit en calcul littéral ?

• Somme/Différence : Résultat d'une addition ou soustraction.
  Exemples :

  • $x - 3$
  • $(2x + 4) + 3x$
  • $(5x) - (9 + 9x)$

• Produit : Résultat d'une multiplication.
  Exemples :

  • $(6x + 1) \times (x - 1)$
  • $2 \times (1 + 6x)$

💡 Astuce :

• Développer = Transformer un produit en somme.
• Factoriser = Transformer une somme en produit (opération inverse).

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⚙️ 2. Développement

🔹 2.1 Distributivité Simple

Quelle est la formule de la distributivité simple ?
$a(b + c) = ab + ac$

Comment appliquer cette formule ?

• Multiplier chaque terme à l'intérieur des parenthèses par le facteur extérieur.
• Règle des signes :

  Opération	Résultat
  $+ \times +$	$+$
  $- \times -$	$+$
  $+ \times -$	$-$
  $- \times +$	$-$

Exemples :

• $A = 4(5 + x) = \mathbf{20} + \mathbf{4x}$
• $B = 5(x - 2) = \mathbf{5x} - \mathbf{10}$
• $C = (4x + 6) \times 3 = \mathbf{12x} + \mathbf{18}$
• $D = -6(-2x + 4) = \mathbf{12x} - \mathbf{24}$
• $E = -x(2 - 3x) = -2x + \mathbf{3x^2}$
• $F = -(5 - x) = -5 + \mathbf{x}$

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🔹 2.2 Double-Distributivité

Quelle est la formule de la double-distributivité ?
$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Comment l'appliquer ?

1. Multiplier chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde.
2. Réduire l'expression obtenue.

Exemples :

• $A = (2x + 3)(x + 8) = \mathbf{2x^2} + 19x + 24$
• $B = (-3 + x)(4 - 5x) = -5x^2 + \mathbf{19x} - 12$
• $C = 2(3 + x)(3 - 2x) = -4x^2 - 6x + \mathbf{18}$
• $D = 2x(1 - x) - (x - 3)(3x + 2) = -5x^2 + \mathbf{9x} + 6$

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🔄 3. Factorisation

🔹 3.1 Facteur Commun Simple

Comment identifier un facteur commun ?

• Chercher un terme répété dans chaque partie de l'expression.
• Le mettre en évidence devant une parenthèse.

Exemples :

• $A = 3,5x - 4,2x + 2,1x = x(3,5 - 4,2 + 2,1) = \mathbf{1,4x}$
• $B = 4t - 5tx + 3t = t(4 - 5x + 3) = t(7 - \mathbf{5x})$
• $C = 4x - 4y + 8 = 4(x - y + \mathbf{2})$
• $D = x^2 + 3x - 5x^2 = x(x + 3 - 5x) = x(-4x + \mathbf{3})$

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🔹 3.2 Facteur Commun Apparent

Comment factoriser si le facteur commun n'est pas évident ?

1. Réécrire l'expression pour faire apparaître le facteur commun.
2. Factoriser comme en 3.1.

Exemples :

• $A = 3(2 + 3x) - (5 + 2x)(2 + 3x) = (2 + 3x)(3 - (5 + 2x)) = (2 + 3x)(-2 - \mathbf{2x})$
• $B = (2 - 5x)^2 - (2 - 5x)(1 + x) = (2 - 5x)((2 - 5x) - (1 + x)) = (2 - 5x)(1 - \mathbf{6x})$
• $C = 5(1 - 2x) - (4 + 3x)(2x - 1) = 5(1 - 2x) + (4 + 3x)(1 - 2x) = (1 - 2x)(9 + \mathbf{3x})$

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📚 4. Identités Remarquables

🔹 4.1 Formules à Connaître

Exemples de développement :

• $(x + 3)^2 = x^2 + \mathbf{6x} + 9$
• $(x - 5)^2 = x^2 - \mathbf{10x} + 25$
• $(2x - 1)(2x + 1) = 4x^2 - \mathbf{1}$

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🔹 4.2 Développement avec Identités Remarquables

Exemples :

• $A = (x + 3)^2 = x^2 + 6x + \mathbf{9}$
• $B = (3x - 4)^2 = 9x^2 - 24x + \mathbf{16}$
• $C = (x - 3)(x + 3) = x^2 - \mathbf{9}$
• $D = (2x + 3)(2x - 3) = 4x^2 - \mathbf{9}$
• $E = (4 - 3x)(3x + 4) = 16 - \mathbf{9x^2}$

Exemples combinés :

• $A = (2x - 3)^2 + (x + 5)(3 - x) = 4x^2 - 12x + 9 + (-x^2 - 2x + 15) = 3x^2 - 14x + \mathbf{24}$
• $B = (x - 3)(x + 3) - (4 - 3x)^2 = (x^2 - 9) - (16 - 24x + 9x^2) = -8x^2 + 24x - \mathbf{25}$

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🔹 4.3 Factorisation avec Identités Remarquables

Méthode :

1. Identifier $a^2$, $2ab$, $b^2$ dans l'expression.
2. Appliquer la formule correspondante.

Exemples :

• $A = x^2 - 2x + 1 = (x - \mathbf{1})^2$ (2ᵉ IR)
• $B = 4x^2 + 12x + 9 = (2x + \mathbf{3})^2$ (1ʳᵉ IR)
• $C = 9x^2 - 4 = (3x - 2)(3x + \mathbf{2})$ (3ᵉ IR)
• $D = 25 + 16x^2 - 40x = (5 - \mathbf{4x})^2$ (2ᵉ IR)

Cas avec facteur apparent :

• $A = (2x + 3)^2 - 64 = (2x + 3)^2 - 8^2 = (2x - 5)(2x + \mathbf{11})$ (3ᵉ IR)
• $B = 1 - (2 - 5x)^2 = (1 - (2 - 5x))(1 + (2 - 5x)) = (-1 + 5x)(3 - \mathbf{5x})$ (3ᵉ IR)

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🧠 Ancrage Mémoriel

1. Développer = Passer d'un produit à une somme via la distributivité.
2. Factoriser = Passer d'une somme à un produit en trouvant un facteur commun.
3. Identités remarquables : 3 formules clés à retenir pour développer/factoriser rapidement.
4. Règles des signes : $- \times - = +$, $+ \times - = -$.
5. Réduction : Toujours simplifier l'expression finale.

flowchart TD
    A[Calcul Littéral] --> B[Développement]
    A --> C[Factorisation]
    B --> D[Distributivité Simple]
    B --> E[Double-Distributivité]
    C --> F[Facteur Commun]
    C --> G[Identités Remarquables]