Flashcards sur Éléments de la Théorie des Ensembles

"Qu'est-ce que le produit cartésien de deux ensembles $E$ et $F$ ?","L'ensemble des couples $(a, b)$ où $a \in E$ et $b \in F$, noté $E \times F = \{(a, b) \mid a \in E \text{ et } b \in F\}$."
"Donnez un exemple de produit cartésien avec $E = \{1 ; 2\}$ et $F = \{1 ; 2 ; 3\}$.","$E \times F = \{(1,1);(1,2);(1,3);(2,1);(2,2);(2,3)\}$."
"Le produit cartésien est-il commutatif ?","Non, $E \times F \neq F \times E$ (non commutatif)."
"Quelle est la cardinalité du produit cartésien $E \times F$ ?","$ext{Card}(E \times F) = ext{Card}(E) \times ext{Card}(F)$."
"Qu'est-ce qu'une relation binaire de $E$ vers $F$ ?","Un triplet $(E, F, G)$ où $G$ est une partie du produit cartésien $E \times F$ (le graphe). La notation $x \mathcal{R} y$ signifie $(x, y) \in G$."
"Quand dit-on qu'une relation binaire est définie sur $E$ ?","Lorsque $E = F$, c'est-à-dire que la relation lie des éléments d'un même ensemble $E$."
"Quelle est la propriété de réflexivité pour une relation binaire $\mathcal{R}$ sur $E$ ?","$\forall x \in E,\ x \mathcal{R} x$."
"Quelle est la propriété de symétrie pour une relation binaire $\mathcal{R}$ sur $E$ ?","$\forall (x, y) \in E^2,\ x \mathcal{R} y \Rightarrow y \mathcal{R} x$."
"Quelle est la propriété de transitivité pour une relation binaire $\mathcal{R}$ sur $E$ ?","$\forall (x, y, z) \in E^3,\ (x \mathcal{R} y) \wedge (y \mathcal{R} z) \Rightarrow x \mathcal{R} z$."
"Quelle est la propriété d'antisymétrie pour une relation binaire $\mathcal{R}$ sur $E$ ?","$\forall (x, y) \in E^2,\ (x \mathcal{R} y) \wedge (y \mathcal{R} x) \Rightarrow x = y$."
"Dans l'exemple 1 avec $E = \{1 ; 2 ; 3 ; 4\}$, pourquoi $\mathcal{R}$ est-elle réflexive ?","Parce que $\{(1,1);(2,2);(3,3);(4,4)\} \subset G$, donc $\forall x \in E,\ x \mathcal{R} x$."
"Dans l'exemple 1, pourquoi $\mathcal{R}$ est-elle symétrique ?","Parce que $(1,2), (2,1)$ et $(3,4), (4,3)$ sont présents dans $G$, donc $x \mathcal{R} y \Rightarrow y \mathcal{R} x$."
"Quelle est la relation binaire définie sur $E = \{0 ; 1 ; 4 ; 7 ; 8 ; 11\}$ dans l'exemple 2 ?","$x \mathcal{R} y \iff x + y$ est pair (regroupe les pairs et les impairs entre eux)."
"Qu'est-ce qu'une relation d'équivalence ?","Une relation binaire $\mathcal{R}$ sur $E$ qui est réflexive, symétrique et transitive."
"Qu'est-ce qu'une relation d'ordre ?","Une relation binaire $\mathcal{R}$ sur $E$ qui est réflexive, transitive et antisymétrique."
"Qu'est-ce qu'une classe d'équivalence ?","L'ensemble des éléments liés à un élément donné par une relation d'équivalence."
"Sur $\mathbb{Z}^2$, quelle est la relation $\mathcal{R}$ définie dans l'exemple ?","$x \mathcal{R} y \iff x^2 \equiv y^2 \pmod{5}$."
"Pourquoi la relation $\mathcal{R}$ définie par $x^2 \equiv y^2 \pmod{5}$ est-elle réflexive ?","Parce que $x^2 \equiv x^2$ pour tout $x \in \mathbb{Z}$."
"Pourquoi la relation $\mathcal{R}$ définie par $x^2 \equiv y^2 \pmod{5}$ est-elle symétrique ?","Parce que si $x^2 \equiv y^2$, alors $y^2 \equiv x^2$."
"Pourquoi la relation $\mathcal{R}$ définie par $x^2 \equiv y^2 \pmod{5}$ est-elle transitive ?","Parce que si $x^2 \equiv y^2$ et $y^2 \equiv z^2$, alors $x^2 \equiv z^2$."
"Quelles sont les valeurs possibles de $n^2 \pmod{5}$ pour $n \in \mathbb{Z}$ ?","$\{0, 1, 4\}$."
"Quelles sont les classes d'équivalence pour la relation $x^2 \equiv y^2 \pmod{5}$ sur $\mathbb{Z}$ ?","Les 3 classes d'équivalence correspondent aux restes : $\{0\}$, $\{1\}$, $\{4\}$."
"Pour quels entiers $n$ a-t-on $n^2 \equiv 0 \pmod{5}$ ?","Pour $n \in \{0, 5, 10, \dots\}$ (multiples de 5)."
"Pour quels entiers $n$ a-t-on $n^2 \equiv 1 \pmod{5}$ ?","Pour $n \in \{1, 4, 6, 9, \dots\}$ (entiers congrus à 1 ou 4 modulo 5)."
"Pour quels entiers $n$ a-t-on $n^2 \equiv 4 \pmod{5}$ ?","Pour $n \in \{2, 3, 7, 8, \dots\}$ (entiers congrus à 2 ou 3 modulo 5)."