Fiche de revision sur Éléments de la Théorie des Ensembles

Appartient au cours : Éléments de la Théorie des Ensembles

🧠 Théorie des Ensembles : Produit Cartésien et Relations Binaires

🔗 Qu'est-ce qu'un produit cartésien ?

Le produit cartésien $E \times F$ est l'ensemble de tous les couples ordonnés $(a, b)$ où :

$a \in E$
$b \in F$

Formule :
$E \times F = \{(a, b) \mid a \in E \text{ et } b \in F\}$

Exemple :
Si $E = \{1 ; 2\}$ et $F = \{1 ; 2 ; 3\}$ , alors :
$E \times F = \{(1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (2,3)\}$

Propriétés clés :

Non commutatif : $E \times F \neq F \times E$
Cardinalité : $\text{Card}(E \times F) = \text{Card}(E) \times \text{Card}(F)$

💡 Les chats qui mangent des croquettes illustrent bien l'ordre des éléments : un chat (E) et une croquette (F) forment un couple unique.

🔄 Comment définir une relation binaire ?

Une relation binaire $\mathcal{R}$ de $E$ vers $F$ est un triplet $(E, F, G)$ où :

$G \subseteq E \times F$ (le graphe de la relation)
La notation $x \mathcal{R} y$ signifie $(x, y) \in G$

Cas particulier :
Si $E = F$ , $\mathcal{R}$ est une relation sur $E$ .

⚖️ Quelles sont les propriétés d'une relation binaire sur $E$ ?

Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire sur $E$ :

Propriété	Définition	Exemple (si applicable)
Réflexive	$\forall x \in E,\ x \mathcal{R} x$	$(1,1) \in G$ pour tout $1 \in E$
Symétrique	$\forall (x, y) \in E^2,\ x \mathcal{R} y \Rightarrow y \mathcal{R} x$	Si $(1,2) \in G$ , alors $(2,1) \in G$
Transitive	$\forall (x, y, z) \in E^3,\ (x \mathcal{R} y) \wedge (y \mathcal{R} z) \Rightarrow x \mathcal{R} z$	Si $(1,2) \in G$ et $(2,3) \in G$ , alors $(1,3) \in G$
Antisymétrique	$\forall (x, y) \in E^2,\ (x \mathcal{R} y) \wedge (y \mathcal{R} x) \Rightarrow x = y$	Si $(1,2) \in G$ et $(2,1) \in G$ , alors $1 = 2$ (faux en général)

📊 Comment représenter une relation binaire ?

Exemple 1 : Diagramme sagittal

$E = \{1 ; 2 ; 3 ; 4\}$
$G = \{(1,1) ; (1,2) ; (2,1) ; (3,3) ; (3,4) ; (4,3) ; (2,2) ; (4,4)\}$

Analyse des propriétés :

Réflexive : Tous les couples $(x,x)$ sont dans $G$ .
Symétrique : Présence de $(1,2)$ et $(2,1)$ , $(3,4)$ et $(4,3)$ .
Transitive : Vérifiée par l'énoncé.

Exemple 2 : Relation par parité

$E = \{0 ; 1 ; 4 ; 7 ; 8 ; 11\}$
$x \mathcal{R} y \iff x + y$ est pair.

Interprétation :

Les pairs sont liés entre eux.
Les impairs sont liés entre eux.

🔄 Qu'est-ce qu'une relation d'équivalence ?

Une relation $\mathcal{R}$ sur $E$ est une relation d'équivalence si elle est :

Réflexive
Symétrique
Transitive

Classe d'équivalence :
Ensemble des éléments liés à un élément donné par $\mathcal{R}$ .

📏 Qu'est-ce qu'une relation d'ordre ?

Une relation $\mathcal{R}$ sur $E$ est une relation d'ordre si elle est :

Réflexive
Transitive
Antisymétrique

🧮 Exemple : Relation d'équivalence modulo 5

Sur $\mathbb{Z}^2$ , définissons $\mathcal{R}$ par :
$x \mathcal{R} y \iff x^2 \equiv y^2 \pmod{5}$

Vérification des propriétés :

Réflexive : $x^2 \equiv x^2 \pmod{5}$ .
Symétrique : Si $x^2 \equiv y^2$ , alors $y^2 \equiv x^2$ .
Transitive : Si $x^2 \equiv y^2$ et $y^2 \equiv z^2$ , alors $x^2 \equiv z^2$ .

Classes d'équivalence :
Les restes possibles de $n^2 \pmod{5}$ sont $\{0, 1, 4\}$ .

Reste	Exemples de $n$
$0$	$0, 5, 10, \dots$
$1$	$1, 4, 6, 9, \dots$
$4$	$2, 3, 7, 8, \dots$

⚠️ 3 classes d'équivalence : $\{0\}$ , $\{1\}$ , $\{4\}$ .

🧠 Ancrage Mémoriel

Le produit cartésien crée des couples ordonnés, comme des chats qui mangent des croquettes dans un ordre précis.
Une relation binaire est définie par son graphe, un sous-ensemble du produit cartésien.
Réflexivité, symétrie et transitivité sont les piliers des relations d'équivalence.
Une relation d'ordre ajoute l'antisymétrie pour éviter les cycles.
Les classes d'équivalence regroupent les éléments "indiscernables" par la relation.