Cours sur Éléments de la Théorie des Ensembles

Appartient au cours : Éléments de la Théorie des Ensembles

Théorie des Ensembles : Relations Binaires et Structures Fondamentales

Chapitre 1 : Fondements des Relations Binaires

Objectifs d'Apprentissage 🎯

Comprendre la notion de produit cartésien et son rôle dans la définition des relations binaires.
Maîtriser la définition formelle d'une relation binaire et ses composantes.
Savoir représenter une relation binaire à l'aide d'un graphe et d'un diagramme sagittal.

1.1 Produit Cartésien de Deux Ensembles

Le produit cartésien de deux ensembles $E$ et $F$ , noté $E \times F$ , est l'ensemble de tous les couples ordonnés $(a, b)$ où $a$ appartient à $E$ et $b$ appartient à $F$ . Formellement :

$E \times F = \{(a, b) \mid a \in E \text{ et } b \in F\}$

Exemple :
Soient $E = \{1; 2\}$ et $F = \{1; 2; 3\}$ . Alors :
$E \times F = \{(1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (2,3)\}$

Propriétés clés :

Non-commutativité : $E \times F \neq F \times E$ (sauf si $E = F$ ou si l'un des ensembles est vide).
Cardinalité : $\text{Card}(E \times F) = \text{Card}(E) \times \text{Card}(F)$ .

Notes de l'IA 🧑‍🏫 :
Le produit cartésien est une construction fondamentale en mathématiques, utilisée pour définir des structures comme les relations, les fonctions, ou même les espaces vectoriels. Par exemple, $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ représente le plan cartésien, où chaque point est un couple $(x, y)$ .

1.2 Définition d'une Relation Binaire

Une relation binaire $\mathcal{R}$ de $E$ vers $F$ est définie par un triplet $(E, F, G)$ , où :

$E$ est l'ensemble de départ.
$F$ est l'ensemble d'arrivée.
$G$ est une partie du produit cartésien $E \times F$ , appelée graphe de la relation.

Notation :
On écrit $x \mathcal{R} y$ pour signifier que $(x, y) \in G$ .

Cas particulier :
Si $E = F$ , on parle de relation binaire sur $E$ .

Notes de l'IA 🧑‍🏫 :
Une relation binaire peut être vue comme un lien entre les éléments de deux ensembles. Par exemple, la relation $\leq$ sur $\mathbb{R}$ relie deux nombres réels si le premier est inférieur ou égal au second. Le graphe $G$ de cette relation serait l'ensemble des couples $(x, y)$ tels que $x \leq y$ .

1.3 Représentation Graphique : Diagrammes Sagittaux

Un diagramme sagittal est une représentation visuelle d'une relation binaire, où :

Les éléments de $E$ et $F$ sont représentés par des points (ou sommets).
Une flèche de $x \in E$ vers $y \in F$ indique que $x \mathcal{R} y$ .

Exemple :
Pour $E = \{1; 2; 3; 4\}$ et $G = \{(1,1); (1,2); (2,1); (3,3); (3,4); (4,3); (2,2); (4,4)\}$ ,
le diagramme sagittal montre des flèches entre les éléments liés par $\mathcal{R}$ .

flowchart LR
    1 --> 1 & 2
    2 --> 1 & 2
    3 --> 3 & 4
    4 --> 3 & 4

Points Clés à Retenir 📌

Le produit cartésien $E \times F$ est l'ensemble des couples ordonnés $(a, b)$ avec $a \in E$ et $b \in F$ .
Une relation binaire est définie par un triplet $(E, F, G)$ , où $G \subseteq E \times F$ .
Les diagrammes sagittaux permettent de visualiser les relations binaires.
La cardinalité de $E \times F$ est le produit des cardinalités de $E$ et $F$ .

Chapitre 2 : Propriétés des Relations Binaires

Objectifs d'Apprentissage 🎯

Identifier et vérifier les propriétés fondamentales d'une relation binaire (réflexivité, symétrie, transitivité, antisymétrie).
Distinguer une relation d'équivalence d'une relation d'ordre.
Comprendre le concept de classe d'équivalence et son utilité.

2.1 Propriétés d'une Relation Binaire sur un Ensemble

Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire sur un ensemble $E$ . Les propriétés suivantes peuvent être vérifiées :

Réflexivité :
$\forall x \in E, x \mathcal{R} x$ .
Exemple : La relation $\leq$ sur $\mathbb{R}$ est réflexive car $x \leq x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .
Symétrie :
$\forall (x, y) \in E^2, x \mathcal{R} y \Rightarrow y \mathcal{R} x$ .
Exemple : La relation « être frère de » est symétrique.
Transitivité :
$\forall (x, y, z) \in E^3, (x \mathcal{R} y) \wedge (y \mathcal{R} z) \Rightarrow x \mathcal{R} z$ .
Exemple : La relation $\subseteq$ sur l'ensemble des parties d'un ensemble est transitive.
Antisymétrie :
$\forall (x, y) \in E^2, (x \mathcal{R} y) \wedge (y \mathcal{R} x) \Rightarrow x = y$ .
Exemple : La relation $\leq$ sur $\mathbb{R}$ est antisymétrique.

Notes de l'IA 🧑‍🏫 :
Une relation peut avoir plusieurs propriétés simultanément. Par exemple, la relation d'égalité $=$ sur un ensemble est à la fois réflexive, symétrique, transitive et antisymétrique. En revanche, une relation ne peut pas être à la fois symétrique et antisymétrique sauf si elle est triviale (c'est-à-dire si $x \mathcal{R} y$ implique $x = y$ ).

2.2 Exemples de Vérification des Propriétés

Exemple 1 :
Soit $E = \{1; 2; 3; 4\}$ et $G = \{(1,1); (1,2); (2,1); (3,3); (3,4); (4,3); (2,2); (4,4)\}$ .

Réflexivité : Vérifiée car $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4) \in G$ .
Symétrie : Vérifiée car pour tout $(x, y) \in G$ , $(y, x) \in G$ (ex. : $(1,2)$ et $(2,1)$ ).
Transitivité : Vérifiée car si $(x, y) \in G$ et $(y, z) \in G$ , alors $(x, z) \in G$ (ex. : $(3,4)$ et $(4,3)$ impliquent $(3,3)$ ).

Exemple 2 :
Sur $E = \{0; 1; 4; 7; 8; 11\}$ , définissons $x \mathcal{R} y \iff x + y$ est pair.

Réflexivité : $x + x = 2x$ est toujours pair.
Symétrie : Si $x + y$ est pair, alors $y + x$ est pair.
Transitivité : Si $x + y$ et $y + z$ sont pairs, alors $x + z = (x + y) + (y + z) - 2y$ est pair.

Notes de l'IA 🧑‍🏫 :
Dans l'exemple 2, la relation $\mathcal{R}$ regroupe les éléments de même parité (pairs avec pairs, impairs avec impairs). Cela illustre comment une relation d'équivalence peut partitionner un ensemble en classes disjointes.

2.3 Relations d'Équivalence et d'Ordre

Relation d'Équivalence

Une relation binaire $\mathcal{R}$ sur $E$ est une relation d'équivalence si elle est :

Réflexive.
Symétrique.
Transitive.

Exemple :
La relation $\mathcal{R}$ sur $\mathbb{Z}$ définie par $x \mathcal{R} y \iff x^2 \equiv y^2 \pmod{5}$ est une relation d'équivalence (voir section 2.4).

Relation d'Ordre

Une relation binaire $\mathcal{R}$ sur $E$ est une relation d'ordre si elle est :

Réflexive.
Antisymétrique.
Transitive.

Exemple :
La relation $\leq$ sur $\mathbb{R}$ est une relation d'ordre.

Notes de l'IA 🧑‍🏫 :
Les relations d'équivalence et d'ordre sont omniprésentes en mathématiques. Les relations d'équivalence permettent de classifier les éléments d'un ensemble (ex. : congruence modulo $n$ ), tandis que les relations d'ordre permettent de comparer les éléments (ex. : inclusion $\subseteq$ ).

2.4 Classes d'Équivalence

Soit $\mathcal{R}$ une relation d'équivalence sur $E$ . La classe d'équivalence d'un élément $x \in E$ , notée $\overline{x}$ ou $[x]$ , est l'ensemble des éléments de $E$ liés à $x$ par $\mathcal{R}$ :

$\overline{x} = \{y \in E \mid x \mathcal{R} y\}$

Exemple :
Pour la relation $\mathcal{R}$ sur $\mathbb{Z}$ définie par $x \mathcal{R} y \iff x^2 \equiv y^2 \pmod{5}$ , les classes d'équivalence sont :

$\overline{0} = \{n \in \mathbb{Z} \mid n^2 \equiv 0 \pmod{5}\} = \{\dots, -5, 0, 5, 10, \dots\}$ .
$\overline{1} = \{n \in \mathbb{Z} \mid n^2 \equiv 1 \pmod{5}\} = \{\dots, -4, -1, 1, 4, 6, 9, \dots\}$ .
$\overline{4} = \{n \in \mathbb{Z} \mid n^2 \equiv 4 \pmod{5}\} = \{\dots, -3, -2, 2, 3, 7, 8, \dots\}$ .

Notes de l'IA 🧑‍🏫 :
Les classes d'équivalence forment une partition de l'ensemble $E$ , c'est-à-dire qu'elles sont :

Non vides.

Disjointes deux à deux.

Leur union est égale à $E$ .
Cette propriété est cruciale en algèbre et en analyse, par exemple pour définir les ensembles quotients (comme $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ).

Points Clés à Retenir 📌

Une relation binaire peut être réflexive, symétrique, transitive ou antisymétrique.
Une relation d'équivalence est réflexive, symétrique et transitive.
Une relation d'ordre est réflexive, antisymétrique et transitive.
Les classes d'équivalence partitionnent l'ensemble en sous-ensembles disjoints.
Les diagrammes sagittaux sont un outil visuel pour analyser les propriétés d'une relation.