COURS DE PHYSIQUE 1ERE ANNEE PHARMACIE

Chapitre 1 : RAPPELS PRELIMINAIRES

1. Mesure des grandeurs

• Systèmes d’unités
  Un système d’unités comprend :

  • a) Des unités fondamentales relatives aux grandeurs longueur, masse et temps (pour la mécanique),
  • b) Des unités dérivées définies par les relations entre les grandeurs correspondantes et ces grandeurs fondamentales.

  Les deux systèmes les plus utilisés sont : le système CGS (pour cm, gramme, seconde) et le système MKS (pour mètre, kilogramme, seconde), ce dernier appelé aussi SI (pour système international).

Certaines unités, comme par exemple le degré ou le radian pour les angles, l’atmosphère pour la pression, sont des unités hors systèmes.

• 1 radian = 180/π degrés

• 1 atmosphère = 1,013 × 10^5 Pa

• Équation aux dimensions
  En désignant par L, M et T les grandeurs longueur, masse et temps, on peut exprimer toutes les grandeurs dérivées en fonction de ces grandeurs fondamentales. Les expressions obtenues constituent les équations aux dimensions de ces grandeurs.

  Exemples:

  • vitesse = L/T = LT^-1
  • accélération = L T^-2
  • force = M L T^-2
  • travail = M L^2 T^-2

• Changement d’unités
  À partir de l’équation aux dimensions d’une grandeur, on peut déterminer le facteur de conversion permettant de passer d’un système d’unités à un autre.

  Exemple:
  force_MKS / force_CGS = [M L T^-2]_MKS / [M L T^-2]_CGS = (M_MKS / M_CGS) × (L_MKS / L_CGS) = 10^3 × 10^2 = 10^5
  ce qui correspond bien à 1 N = 10^5 dynes.

• Homogénéité
  Les deux membres d’une équation littérale doivent avoir les mêmes dimensions, puisqu’ils représentent des grandeurs de même nature.
  Il est toujours bon de vérifier l’homogénéité d’un résultat littéral avant de passer à l’application numérique.
  Il ne suffit pas qu’une formule soit homogène pour qu’elle soit juste. L’homogénéité est une condition nécessaire mais pas suffisante.
  Il ne suffit pas non plus que deux grandeurs aient les mêmes dimensions pour qu’elles soient de même nature.

  Exemples:

  • travail = force × déplacement = M L^2 T^-2
  • moment d’une force = force × distance = M L^2 T^-2

• Calcul des petites variations
  Soit une grandeur A liée aux grandeurs x, y, z par une relation A = f(x, y, z). On fait subir à x, y, z des petites variations δx, δy, δz. Quelle est la variation qui en résulte ?
  Ce problème rejoint le problème suivant : on connaît la valeur d’une fonction f(x, y, z) en un point x, y, z. Quelle est la valeur de f en un point voisin ?
  Application : calcul des incertitudes liées à la précision des mesures (calcul d’erreur).

  Expressions simples
  Le calcul nécessite parfois de passer par les différentielles logarithmiques.

  • S = x + y − z → δS = δx + δy − δz
  • P = x y → ln P = ln x + ln y → δP / P = δx / x + δy / y
  • Q = x / y → ln Q = ln x − ln y → δQ / Q = δx / x − δy / y
  • A = x^n → ln A = n ln x → δA / A = n δx / x

• Calcul d’incertitudes
  Soit une grandeur A définie par des mesures des grandeurs x, y, z, par exemple à partir de la relation:
  A = K x^m y^n z^p, où K est une constante.

  Sachant que les incertitudes absolues sur x, y, z sont ∆x, ∆y, ∆z, quelle est l’incertitude ∆A sur la détermination de A ?
  La méthode générale est la suivante :

  • on calcule la différentielle logarithmique InA = InK + m Inx + n Iny − p Inz
  • on remplace : dx, dy, dz, dA par ∆x, ∆y, ∆z, ∆A,
  • le signe – par + puisque les erreurs ne peuvent se compenser,
    dA/A = m dx/x + n dy/y + p dz/z

  Le second membre représente la limite supérieure de la valeur absolue de l’erreur relative sur A.
  Si α est la valeur de ce second membre et A0 la valeur pour A, on a : ∆A = α A0, d’où l’encadrement de A : (1 − α) A0 ≤ A ≤ (1 + α) A0

  Ex : la période d’un pendule simple est donnée par T = 2π √(l/g) où l est sa longueur et g l’accélération de la pesanteur.
  On donne g = 9,8 m/s^2 avec une précision de 0,1% et l = 0,500 m ± 0,002 m. Le calcul donne :
  T = 2π √(0,5/9,81) = 1,418 s

  Quelle est l’erreur sur la détermination de T ?
  T = 2π √(l/g)
  dT/T = 1/2 ( dl/l − dg/g )
  ∆T/T = 1/2 (∆l/l + ∆g/g)
  = 1/2 (∆l/l + ∆g/g)
  = 2,5 × 10^-3
  ∆T = 1,418 × 2,5 × 10^-3 = 3,5 × 10^-3 s
  1,415 ≤ T ≤ 1,422 (s)

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Chapitre 2 : LOIS DE NEWTON ET QUANTITÉ DE MOUVEMENT

1. Les forces

La présence d’une force est le plus souvent reconnue par ses effets : déformations (statique), changement de vitesse (dynamique). Une force sera décrite par un vecteur F⃗, c’est‑à‑dire direction ; sens ; module (ou intensité) et le plus souvent point d’application.

• Addition des forces : somme vectorielle qui conduit à la résultante R⃗ des forces appliquées sur un point M : R⃗ = ∑ F⃗ i
• Décomposition des forces : attention à la signification physique ou non → Nécessité de réalité physique pour toutes les directions utilisées !
• Unité de force : à partir de la deuxième loi de Newton (voir plus loin, PFD) → F⃗ = m a⃗, d’où l’équation aux dimensions [M][L][T]^-2 et unité dans le système international : Newton (N).

Quelques exemples de forces macroscopiques : forces de gravitation, forces électriques et magnétiques, forces de pression, forces de contact, … En fait, toutes trouvent leur origine dans les quatre forces fondamentales, classées par ordre décroissant:

• Interaction forte: entre quarks et gluons, attractive, responsable de la cohésion des noyaux, intensité ≈ 10^4 N, courte portée (10^-14 m)
• Interaction électromagnétique: entre particules chargées, attractive ou répulsive, intervient aussi bien dans les liaisons atomiques que dans les forces de contact ou de frottement, intensité ≈ 10^2 N, portée infinie (varie en r^-2)
• Interaction faible: introduit pour expliquer la radioactivité β, intensité ≈ 10^-2 N, très courte portée (10^-17 m)
• Interaction gravitationnelle: entre toutes les particules chargées, toujours attractive, intervient pour la cohésion de l’univers, intensité ≈ 10^-34 N, portée infinie (varie en r^-2)

Remarque : c’est l’interaction gravitationnelle qui est à l’origine de la notion de poids : poids d’un objet sur la Terre égal à la force gravitationnelle entre la masse de la Terre et la masse de l’objet (différent, par exemple, du poids sur la Lune). Le poids est une force, qui change avec le lieu (environnement), et qui devient nulle très loin de tous corps dans l’espace.

• Ne pas confondre poids et masse ! La masse, qui s’exprime en kg, est une propriété intrinsèque du corps considéré, indépendamment de son environnement, et associée à la quantité de matière.
• Remarque : identité (pas évidente) de la masse gravifique (interaction gravitationnelle) et de la masse d’inertie (RFD).

En particulier, appliquer ces lois dans un système d’axes liés à la Terre nécessite de pouvoir négliger les effets du mouvement de notre système par rapport au système fixe, repéré à des étoiles considérées comme fixes.

2. LOIS DE NEWTON

• 1re loi : Si un corps n’est soumis à aucune force, s’il est au repos, il reste au repos, s’il est en mouvement, ce mouvement ne peut être que rectiligne et uniforme. Cette loi constitue la loi (ou principe) d’inertie.
• 2e loi : La résultante des forces qui s’exercent sur un corps est égale au produit de sa masse par son accélération ∑F⃗ = m a⃗. Cette loi constitue la loi fondamentale de la dynamique. Nous la désignerons par les initiales PFD (principe fondamental de la dynamique).
• 3e loi : Lorsque deux corps interagissent, la force exercée par le premier sur le second est égale et opposée à la force exercée par le second sur le premier. Cette loi est connue sous le nom de « loi de l’action et de la réaction ».
  • La première loi apparaît comme un cas particulier de la seconde : si ∑F⃗ = 0 alors a⃗ = 0, d’où v⃗ = v⃗0 avec v0 = 0 ou v0 ≠ 0.
  • Dans un repère non inertiel, l’application du PFD nécessite de passer par la loi de composition des accélérations, qui sera rappelée au chapitre 4.

3. Statique du point matériel

L’équilibre du point matériel apparaît comme un cas particulier de la dynamique du point matériel.
D’après l’équation du mouvement : m a⃗ = ∑ F⃗, pour exprimer l’équilibre, il faut écrire que la résultante des forces appliquées est nulle, soit : ∑ F⃗ = 0.
Mais cette condition ne suffit pas, car si l’accélération est nulle, la vitesse peut être une constante non nulle, ce qui correspond à un mouvement rectiligne uniforme.
Il faut donc encore que la vitesse initiale soit nulle, c’est‑à‑dire que le point matériel soit déjà au repos.
Dans le cas du point matériel qui, par définition, ne tourne pas, cela suffit pour exprimer l’équilibre. Mais dans le cas d’un solide, nous rappellerons (chap. 6) que la condition ∑ F⃗ = 0 annule seulement tout mouvement de translation du centre de masse. Il faudra une deuxième condition ∑ M⃗ tF⃗ = 0 pour annuler tout mouvement de rotation du solide autour d’un axe.

4. Théorème de la variation de la quantité de mouvement

La quantité de mouvement d’un point matériel est définie par : p⃗ = m v⃗.
Autre énoncé du PFD : dp⃗ / dt = F⃗ ou encore :

1. Théorème de la variation du moment cinétique

• Le moment cinétique d’un point matériel M par rapport à un point O est défini par: L⃗ = OM⃗ × m v⃗
• En dérivant par rapport au temps:
  dL⃗/dt = dOM⃗/dt × m v⃗ + OM⃗ × d(mv⃗)/dt = v⃗ × m v⃗ + OM⃗ × (∑ F⃗)
  et comme le premier produit vectoriel est nul, dL⃗/dt = OM⃗ × (∑ F⃗) = τ⃗O = ∑ F⃗ × r⃗
• La variation du moment cinétique est égale au moment de la résultante des forces, par rapport au point O.
• Il importe que les deux moments soient calculés par rapport au même point O.
• Cas particulier d’une force centrale:
  Si la force est centrale (passe toujours par O), alors dL⃗/dt = OM⃗ × F⃗ = 0 et L⃗ = L⃗0 se conserve.
• Ex : dans le cas de gravitation universelle ou de l’interaction électrostatique entre deux charges (forces centrales), les mouvements sur leurs orbites se font avec conservation des moments cinétiques.

1. Théorème de l’énergie cinétique

• Ec = (1/2) m v^2
• Travail élémentaire: dW = F⃗ · ds⃗ = mdv⃗/dt · ds⃗ = mv⃗ · dv⃗ (puisque v⃗ = ds/dt)
• Pour un déplacement AB: WAB = ∫ mv⃗ · dv⃗ = (1/2) m vB^2 − (1/2) m vA^2
  Donc WAB = Ec(B) − Ec(A)
• Enoncé : Le travail de la force appliquée est égal à la variation d’énergie cinétique du point matériel.
• Ex : chute libre (axe vertical descendant):
  mg(zB − zA) = (1/2) m vB^2 − (1/2) m vA^2
  d’où vB^2 − vA^2 = 2 g (zB − zA)

1. Energie potentielle

• Intérêt du gradient en mécanique:
  Si un champ F⃗(x, y, z) est le gradient d’une fonction scalaire U, alors: dW = F⃗ · dM⃗ = ∇U · dM⃗ = dU
  Conséquences:
  • pour un déplacement fini AB: WAB = UB − UA
  • le travail ne dépend pas du chemin mais uniquement des valeurs de U en A et B
  • le travail effectué sur un trajet fermé est nul: WAÂ = UA − UA = 0
• On définit une grandeur scalaire ayant les dimensions d’une énergie appelée énergie potentielle Ep = −U
  Ce qui permet d’écrire: WAB̂ = −(EpB − EpA) = −∆Ep
• Enoncé : Si une force dérive d’une énergie potentielle, son travail sur un trajet est égal et opposé à la variation d’énergie potentielle pendant ce trajet.

1. Relation entre la force et l’énergie potentielle

• Si F⃗ est un gradient (ou dérive d’une énergie potentielle), alors:
  F⃗ = −grad Ep
• Cette relation est importante:
  • elle permet de déterminer une force à partir de l’énergie potentielle dont elle dérive
  • inversement, de déterminer l’énergie potentielle à partir d’une force (à condition que la force soit bien un gradient)

a) Cas de l’attraction universelle

• La force d’attraction entre deux masses m et m′ est donnée par:
  F⃗ = G m m′ / r^2 ur
• Déterminer l’énergie potentielle d’interaction:
  F⃗ = −grad Ep entraîne ici: dEp = −F⃗ · dr⃗ = (G m m′ / r^2) dr
• On en déduit:
  Ep = G m m′ / r + cte
  L’origine étant prise à l’infini (car lorsque r → ∞, il n’y a plus d’interaction), la constante est nulle.
  D’où Ep = G m m′ / r

b) Interaction électron-électron ou proton-proton

• F⃗ = K e^2 / r^2 ur
• Ep = K e^2 / r

c) Cas de la pesanteur

• dEp = −F⃗ · dz⃗ = mg dz
• En prenant l’origine de Ep au niveau du sol (z = 0), on trouve Ep = mgz

8/9. Energie mécanique. Principe de conservation

• Considérons un point matériel soumis à une seule force F⃗, dérivant d’une énergie potentielle (F⃗ peut être la résultante de plusieurs forces appliquées).
• Pour un déplacement AB̂ du point matériel, on peut écrire:
  WAB̂ = Ep − EpB̂
  et
  WAB̂ = EcB̂ − EcÂ
• On en déduit (Ec + Ep)B̂ = (Ec + Ep)Â = cte
• On définit l’énergie mécanique ou énergie totale Em du point matériel comme étant: Em = Ec + Ep
• Enoncé : Si un point matériel n’est soumis qu’à une force dérivant d’une énergie potentielle, son énergie mécanique se conserve.
• Si une particule est soumise à la fois à une force dérivant d’un potentiel et à une force qui ne dérive pas d’un potentiel, son énergie mécanique ne se conserve pas.
  Exemple: particule tombant dans un fluide et soumise à la pesanteur (énergie potentielle dérivée d’un potentiel) et à une force de frottement qui n’en dérive pas.
  On aura bien conservation de l’énergie pour l’ensemble du système particule + fluide:
  (Ec + Ep)B̂ = (Ec + Ep)Â = W′ (W′ < 0)
  mais l’énergie totale de la particule décroit.
• La notion d’énergie mécanique est revue dans le chapitre 6 pour distinguer les forces extérieures et les forces intérieures au système.

1. Exemples d’application
   a) Chute d’un corps

• Ec = (1/2) m v^2
• Ep = mgz
• Em = (1/2) m v^2 + mgz = constant

b) Oscillateur harmonique (ou ressort)

• Ec = (1/2) m v^2
• Ep = (1/2) k x^2
• Em = (1/2) m v^2 + (1/2) k x^2 = constant

c) Énergie d’un électron en orbite autour du noyau dans l’atome d’hydrogène

• Ep = Ke^2 / r (voir paragraphe 4) (orbite circulaire)
• Ec = (1/2) m v^2
• Equation du mouvement: mv^2 / r = − Ke^2 / r^2
  Ec = −(1/2) Ke^2 / r
  Em = Ec + Ep = (1/2) Ke^2 / r
• L’énergie d’ionisation de cet électron est l’énergie qu’il faut fournir pour l’extraire de l’orbite et l’envoyer à l’infini avec une vitesse au moins nulle.
  Em(∞) = 0 ⇒ Ed = (1/2) Ke^2 / r ≈ 13,5 eV

1. Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe

• Pour un point matériel de masse m par rapport à un axe Δ: I = m r^2, où r est la distance du point à l’axe Δ
• Pour un cerceau de masse M par rapport à son axe Δ (perpendiculaire au plan du cerceau):
  dI = r^2 dm, I = ∫ r^2 dm = r^2 ∫ dm = M r^2
• Pour un cylindre homogène de masse volumique μ par rapport à son axe Δ:
  Moment d’inertie élémentaire d’un tube cylindrique de rayon r, d’épaisseur dr, de hauteur h: dI = μ · 2π r h dr · r^2
  En intégrant sur tout le cylindre, on trouve:
  I = 2π μ h ∫ r^3 dr = π μ h (R^4 − 0)/2
  La masse totale du cylindre est: M = π R^2 h μ
  D’où finalement IΔ = MR^2/2
• Moments d’inertie de solides simples:
  Disque: IΔ = MR^2/2
  Disque (autre axe dans le même plan): IΔ = MR^2/4
  Sphère pleine: IΔ = (2/5) MR^2
  Cylindre: IΔ = MR^2/4 + MR^2/12
  Tige mince: IΔ = MR^2/12 (R ≪ L)

1. Théorème de Huyghens

• Ce théorème permet de ramener le calcul de IΔ par rapport à un axe Δ quelconque à celui par rapport à un axe IG, parallèle à Δ et passant par le centre de masse, souvent plus facile à calculer.
• Si d est la distance entre les deux axes parallèles et M la masse du solide, on a: IΔ = IG + Md^2
• Exemples:
  • Moment d’inertie d’un cylindre par rapport à une génératrice: IΔ = IG + MR^2 = MR^2/2 + MR^2 = Md^2

Chapitre 3 : BASES D’OPTIQUE GEOMETRIQUE

Remarque fondamentale

En optique géométrique, les grandeurs sont toutes algébriques : il convient d’être attentif au signe de toute grandeur, en particulier les angles, positions, grandissements, etc.

I. Généralités

Nature de la lumière

La lumière est une onde d’origine d’électromagnétique caractérisée par un domaine de fréquence ν particulier (tableau ci-dessous) qui est celui de la sensibilité de l’œil.
Une telle onde se propage dans un milieu (y compris le vide) avec une vitesse de propagation caractéristique.
Dans le vide, la vitesse de propagation est : c = 299792458 m/s ≈ 3.108 m/s
Il lui correspond une longueur d’onde λ0 distance parcourue dans le vide par l’onde pendant une période T = 1/ν : λ0 = cT = c/ν

Remarque : IR et UV, du fait de leurs propriétés physiques et de leurs interactions biologiques, sont souvent traités comme la lumière visible, dans le cadre de l’optique géométrique.

Indice ; dispersion et absorption
Dans un milieu matériel transparent, la lumière se propage avec une vitesse v inférieure à c. On définit l’indice n du milieu par : n = c/v ≥ 1.
La longueur d’onde dans le milieu est alors : λ = λ0/n
Vocabulaire et valeurs usuelles (indice moyen dans le visible)

• Air (conditions normales) 1,00293
• Eau 1,33
• Verre standard 1,5
• Verre type flint 1,65 à 1,75
• Diamant 2,4

Un milieu 1 est dit plus réfringent qu’un milieu 2 si son indice est plus élevé que celui du milieu 2.
Les milieux transparents sont caractérisés par leur dispersion : la vitesse v, donc l’indice n, dépend de la fréquence ; en général, le rouge se propage plus vite que le bleu.
Exemple de l’eau : pour λ0 = 0,486 μm (bleue) n = 1,3371 > n = 1,3330 pour λ0 = 0,589 μm (jaune).
La conséquence la plus visible de la dispersion est la décomposition de la lumière blanche par un prisme ou une goutte d’eau (arc en ciel) ---> voir § prisme.
L’absorption, décroissance de l’intensité lumineuse lors de la propagation, dépend de la fréquence. Dispersion et absorption sont directement liées physiquement par des équations couplées. Un milieu transparent est à priori non absorbant pour le visible, mais cela dépend de la distance parcourue dans le milieu ; ainsi dans l’eau au-delà de 20 m de profondeur, l’absorption de lumière visible, notamment des grandes longueurs d’ondes, devient très sensible.
De nombreux milieux transparents vérifient assez bien la formule de Cauchy pour l’indice : n(λ0) = A + B/λ0^2, A et B étant deux constantes positives.

Description des phénomènes lumineux
Suivant les dimensions D des objets interagissant avec la lumière, on peut (… doit) décrire la lumière par des rayons lumineux, par une onde, ou par des photons, ‘’grains’’ (particules) de lumière de masse nulle et d’énergie E = hν (h constante de Planck).

• Pour λ >> D : description par les photons ex ; l’effet photoélectrique
• Pour λ ≈ D : description par les d’ondes ex. diffraction, interférences (--> cours de L2)
• Pour λ << D : description en utilisant les rayons lumineux --> domaine de l’optique géométrique !

Remarque : La notion de rayon lumineux est assez abstraite, il ne lui correspond rien de vraiment rigoureux en physique ; on ne donnera donc pas de définition précise…

Un faisceau lumineux correspond à un ensemble de rayons lumineux passant par un point et s’appuyant sur une surface donnée.
En pratique, un rayon lumineux est bien représenté par un faisceau fin de rayons parallèles. Laser et diode laser permettent d’obtenir un tel faisceau, suffisamment fin et peu divergent pour être identifié à un rayon en optique géométrique.
≈ rayon pour d << D

Premier principe de l’optique géométrique

Dans un milieu homogène et isotrope, la lumière se propage en ligne droite.
Les rayons lumineux sont des droites sans interaction entre eux. Conséquences : existence d’ombre (cf. éclipses).

Réflexion-réfraction ; loi de Snell-Descartes
On considère un dioptre (=interface séparant deux milieux homogènes d’indice n1 et n2). Un rayon lumineux arrivant en un point I de la surface (rayon incident) peut donner deux phénomènes (qui se font sans changement de fréquence) :

• Une réflexion sur le dioptre donnant un rayon réfléchi ;

• Une réfraction donnant un rayon réfracté après traversée du dioptre.

• Milieu d’indice n1

• Milieu d’indice n2

Le plan d’incidence est défini par la normale à la surface et le rayon incident.
On note : i l’angle entre le rayon incident et la normale⃗N⃗1, i’ l’angle entre le rayon réfléchi et la normale⃗N⃗1, r l’angle entre le rayon réfracté et la normale N⃗2.

Lois de Snell-Descartes
Réflexion : le rayon réfléchi est dans le plan d’incidence et vérifie : i’ = -i
Réfraction : le rayon réfracté est dans le plan d’incidence et vérifie : n1 sin i = n2 sin r

Principe du retour inverse de la lumière
Tout trajet suivi par un rayon lumineux peut être parcouru dans l’autre sens de propagation. C’est une simple conséquence des lois de Descartes.

Conséquences
(1) Si les milieux dispersifs, l’angle de réfraction dépend de la longueur d’onde → dispersion (décomposition) de la lumière blanche par le prisme ou les gouttes d’eau.
(2) Pour n2 > n1, on a r < i. L’angle de réfraction maximal est donné par i = 90° ⇒ sin rmax = n1/n2
(3) Pour n2 < n1, il existe un angle limite d’incidence i_lim au-delà duquel il n’y a plus réfraction : on parle de réflexion totale. Il est donné par (limite r’=90°, rayon réfracté rasant) : sin i_lim = n2/n1

Nombreuses applications (prisme (jumelles), les fibres optiques, etc.)

Remarque : L’intensité relative des rayons réfléchis et réfractés n’est pas donnée par des lois simples. Elle dépend notamment des angles et de la “polarisation” de la lumière (→ cours de physique de L2 – L3).

Description des phénomènes lumineux

Suivant les dimensions D des objets interagissant avec la lumière, on peut (... doit) décrire la lumière par des rayons lumineux, par une onde, ou par des photons, “grains” (particules) de lumière de masse nulle et d’énergie E = hν.

• Pour λ >> D : description par les photons ex. l’effet photoélectrique
• Pour λ ≈ D : description par les d’ondes ex. diffraction, interférences (→ cours de L2)
• Pour λ << D : description en utilisant les rayons lumineux → domaine de l’optique géométrique !

Un faisceau lumineux correspond à un ensemble de rayons lumineux passant par un point et s’appuyant sur une surface donnée.
En pratique, un rayon lumineux est bien représenté par un faisceau fin de rayons parallèles. Laser et diode laser permettent d’obtenir un tel faisceau, suffisamment fin et peu divergent pour être identifié à un rayon en optique géométrique.

En pratique, un rayon lumineux est bien représenté par un faisceau fin de rayons parallèles. Laser et diode laser permettent d’obtenir un tel faisceau, suffisamment fin et peu divergent pour être identifié à un rayon en optique géométrique.
≈ rayon pour d << D

[Schéma: premier principe de l’optique géométrique]

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II. Sources & détecteur

Source

Une source est un objet qui émet de la lumière ; il peut être représenté par une surface émissive.
Une source primaire est une source qui émet directement la lumière via un mécanisme physique qui transforme une certaine forme d’énergie en lumière.
Exemples : Soleil, laser, lampe à incandescence, lampe basse consommation, diode LED, laser, etc.
Une source secondaire : est un objet éclairé par une autre source et qui réémet la lumière par réflexion ou transmission partielle.
Exemples : Lune, miroir, diaphragme-objet utilisé en TP.

Les caractéristiques principales d’une source sont son spectre en fréquence, son intensité, son diagramme angulaire de rayonnement.
Exemples :

1. Le soleil est une source qui possède un spectre continu très large qui va de l’IR à l’UV, de puissance 4×10^23 kW et qui rayonne de manière isotrope dans l’espace.
2. Le laser hélium-néon (He-Ne) utilisé en TP est une source quasi monochromatique (=632,8 nm, largeur relative de la raie faible) avec une puissance voisine du mW et émettant dans une direction fixe (ouverture angulaire très faible) avec une surface émissive très faible (largeur du faisceau 2 mm).

Objet

On peut distinguer quatre cas :

• Objet ponctuel à distance finie

[Schéma: sources lumineuses – primaire et secondaire]

Objet : Exemples

1. Le soleil est une source qui possède un spectre continu très large allant de l’IR à l’UV, de puissance 4×10^23 kW et qui rayonne de manière isotrope dans l’espace.
2. Le laser hélium-néon (He-Ne) utilisé en TP est une source quasi monochromatique (λ = 632,8 nm), largeur relative de la raie faible, puissance voisine du mW et émettant dans une direction fixe (ouverture angulaire très faible) avec une surface émissive très faible (largeur du faisceau 2 mm).

Objet : Cas particuliers

• On peut distinguer quatre cas :
  1. Objet ponctuel à distance finie

[Schéma: rayons et faisceau lumineux]

III. Le prisme

Un prisme et un dièdre d’angle A au sommet avec une face d’entrée et une face de sortie.

Convention et relations fondamentales

Les quatre angles i, r, r’ et i’ sont définis de manière à être tous de même signe.
Pour la face d’entrée :

• i et r sont les angles des rayons incident et réfracté par rapport à la normale.
  Pour la face de sortie :
• i’ et r’ sont les angles de la normale par rapport aux rayons réfracté et incident.
  Sur la figure ci-contre, ils sont touts positifs.
  Lois de Snell-Descartes : sin i = n sin r, sin i′ = n sin r′ avec n indice du prisme.
  Pour le triangle AII’ : A + (π/2 − r) + (π/2 − r′) = π ⇒ A = r + r′
  L’angle de déviation D du rayon incident par rapport au rayon émergent est :
  D = i + i′ − A

Remarque
Pour n > 1, au niveau de la face d’entrée, le rayon est toujours réfracté à l’intérieur du prisme. Mais pour la face de sortie, le rayon peut avoir un angle r′ supérieur à l’angle limite de réfraction et ainsi ne pas ressortir du prisme — on parle de réflexion totale. En notant sin λ = 1/n, on montre que si A > 2λ, il y a toujours (quel que soit i) réflexion totale à l’intérieur du prisme.

Déviation et dispersion
À partir des relations précédentes, on constate que pour i donné : si n augmente, r diminue, r′ augmente, i′ augmente.
Conclusion : la déviation augmente avec l’indice du prisme.
Comme l’indice dépend de la longueur d’onde pour les matériaux utilisés (verre…), le prisme disperse la lumière.
Pour un matériau vérifiant la loi de Cauchy, on constate que la déviation croit du rouge vers le bleu.

Minimum déviation
Pour un indice donné, lorsque l’on fait varier l’angle d’incidence i entre les valeurs extrêmes donnant un rayon émergeant, on observe un minimum Dm de l’angle de déviation pour une certaine valeur im.
On montre qu’il vérifie la relation suivante : sin A + Dm/2 = n sin A/2
Connaissant A, et en mesurant Dm, on peut alors calculer l’indice du prisme et tracer la courbe de dispersion n(λ0) en faisant varier la longueur d’onde de la lumière.

IV. Système optique – objet/image – Stigmatisme

1. Généralités

Un système optique est un ensemble de milieux homogènes transparents et isotropes séparés par des dioptres de forme généralement simple (plans et sphériques).
Les rayons qui les traversent subissent donc des réfractions successives et/ou des réflexions (le système est alors dit catadioptrique) au niveau de chaque dioptre.
Un système optique centré est formé de dioptres de révolution autour d’un même axe appelé axe du système optique ou simplement axe optique, orienté dans le sens de parcours des rayons lumineux.
L’axe optique correspond à un rayon lumineux non dévié par le système puisque ce rayon arrive sur chaque dioptre avec une incidence normale (i = 0) du fait de la symétrie de révolution.
Remarque : tous les systèmes utilisés en pratique ne sont pas centrés ; ex avec les lentilles cylindriques.
Un système optique possède une face d’entrée correspondant aux rayons incidents sur le système, et une face de sortie d’où émergent les rayons précédents.
Ces deux faces sont confondues pour un système catadioptrique.

[Schéma: schéma d’un système optique centré vs décentré]

1. Objet & image
   Soit un objet ponctuel (ou point objet) dont on fait l’image par un système optique donné.

• L’objet ponctuel est situé à l’intersection des rayons incidents,
• L’intersection de rayons émergents issus d’un même point objet forment une image ponctuelle (ou point image).
  Un point constitue un objet réel s’il est situé avant la face d’entrée du système (les rayons incidents divergent vers la face d’entrée) ; inversement, si les rayons incidents convergent sur la face d’entrée et forment un objet au-delà de la face d’entrée, l’objet est dit virtuel.
  Dans ce dernier cas, on prolonge en pointillés les rayons incidents au-delà de la face d’entrée vers le point objet.
  Un objet virtuel n’existe pas « physiquement » : il ne peut être manipulé… mais on peut le superposer avec un objet réel et en faire une image !
  De manière analogue, une image est réelle si elle est située après la face de sortie, c’est‑à‑dire si les rayons émergents convergent de la face de sortie vers le point image ; inversement, l’image est virtuelle.
  Une image virtuelle n’existe pas physiquement ; contrairement à une image réelle, elle ne peut pas être projetée sur un écran.
  Un ensemble de rayons lumineux parallèles forme un objet ponctuel à l’infini (ou une image ponctuelle à l’infini), caractérisé par sa direction (inclinaison) par rapport à l’axe optique.
  Toutes les notions précédentes s’étendent naturellement à un objet étendu et à son image.
  Pour un ensemble de systèmes optiques, l’image d’un objet par un premier système devient un objet pour le système suivant, etc…

Sur la figure ci-contre :

• A est l’objet pour le système I
• L’objet pour l’ensemble (I + II)
• A’ est l’image de A pour le système I
• L’objet pour le système II
• A’’ est l’image de A’ par le système II
• l’image de A par l’ensemble (I + II).

Conclusion : toujours préciser pour un objet ou une image système optique considéré !

3. Stigmatisme ; conditions de Gauss

Stigmatisme et aplanétisme
Un système optique « parfait » doit donner d’un objet ponctuel A une image A’ ponctuelle : on parle de stigmatisme du système optique pour le couple de point (A, A’).
Les points A et A’ sont dits conjugués pour le système optique (df. Figures précédentes).
Pour un système optique centré, on parle d’aplanétisme si le système donne d’un objet étendu AB plan et perpendiculaire à l’axe optique, une image A’B’ elle‑même plane et perpendiculaire à l’axe optique.

Conclusion
Il est fondamental qu’un instrument d’optique soit stigmatique et aplanétique afin de former une image nette sur toute l’étendue d’un objet.

Condition de Gauss
Pour les rayons paraxiaux, c’est‑à‑dire les rayons peu inclinés sur l’axe optique et proches de l’axe optique, un système optique vérifie les conditions de gauss s’il est stigmatique et aplanétique.
Le stigmatisme défini par les conditions de Gauss est dit approché (par opposition à rigoureux) ; une image est suffisamment « nette » pour représenter correctement l’objet par le système optique.

Conséquences

1. Avec des rayons paraxiaux, on a des petits angles ; on peut confondre sin et tan avec l’angle ; ainsi la relation de Snell-Descartes pour la réfraction devient n1 i1 = n2 i2.

2. Pour construire l’image A’B’ d’un objet AB, il suffit donc de deux rayons issus de B.
   Toute relation reliant les positions des points conjuguées A et A’ de l’axe optique est appelée relation de conjugaison.

3. Foyers ; plans focaux
   Tout rayon incident parallèle à l’axe optique a pour image un point F’ de l’axe optique appelé foyer image : F’ est l’image d’un point objet à l’infini sur l’axe optique.
   Le plan perpendiculaire à l’axe optique passant par F est le plan focal image.
   Tout rayon émergeant parallèle à l’axe optique a pour objet un point F de l’axe optique appelé foyer objet : F est le point de l’axe optique dont l’image est à l’infini.
   Le plan perpendiculaire à l’axe optique passant par F est le plan focal objet.

[Schéma: schéma des foyers et plans focaux]

5- Grandissement et grossissement

• Si un objet et son image sont à distance finie du système, après l’orientation de l’axe orthogonal à l’axe optique, l’agrandissement est défini par
  γ = A′B′ / AB
  L’image est droite si γ > 0, renversée si γ < 0.
• Pour un système afocal, objet et image étant à l’infini, le grossissement est défini par
  G = α′ / α
  Le grossissement est une grandeur algébrique (sur la figure, l’image est renversée) (G < 0).

[Schéma: schéma montrant un système focal et afocal]

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V- Etude de dioptres simples

1. Le miroir plan

Dioptre plan en réflexion
Les lois de la réflexion permettent d’obtenir les résultats simplement suivants (cf. construction) :
Le miroir plan est un système afocal, parfaitement stigmatique et aplanétique.
Il donne d’un objet réel une image virtuelle, symétrique de l’objet par rapport au miroir.

2. Le dioptre sphérique en transmission

À la base des lentilles minces : l’étude est donnée en complément pour les étudiants intéressés.

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Lentilles minces

1. Définition & exemples

• Une lentille sphérique est un milieu homogène, transparent et isotrope séparé par 2 dioptres sphériques.
• Les systèmes étant centré, les centres C1 et C2 et les sommets S1 et S2 des dioptres sont sur l’axe optique. Leurs rayons sont définis algébriquement par R1 = S1C1 et R2 = S2C2.
• L’un des dioptres peut être plan (R), perpendiculaire à l’axe optique.
• Une lentille permet dans les conditions de Gauss de former l’image d’un objet pour modifier son grandissement (ex. objectif de microscope), la renverser, la projeter sur un écran, etc.

Exemples de lentilles
R1 = S1C1 R2 = S2C2 R1 - R2 e = S1S2
1 Lentille biconvexe mince +250 mm -250 mm 500 mm 10 mm
2 Lentille plan-convexe mince +250 mm ∞ ∞ 5 mm
3 Lentille biconcave mince -250 mm +250 mm 500 mm 5 mm
4 Lentille plan-concave mince ∞ -250 mm ∞ 5 mm
5 Lentille concave-convexe épaisse -250 mm -250 mm 0 mm 10 mm

Une lentille est une lentille mince si son épaisseur e = S1S2 au sommet est très inférieur aux rayons R1 et R2 et à leur différence, ce qui se traduit par : e = S1S2 << |R1| et |R2| (exemple 1 à 4).
Une lentille est à bord mince si le bord de la lentille est moins épais que le centre (exemple 1 et 2).

Les lois de la réfraction montrent qu’une lentille à bord mince est convergente.
Inversement, une lentille à bord épais (exemple 3 et 4) est divergente.

Remarque :
On se restreint ici aux lentilles où les deux faces, entrée et sortie, sont dans l’air; n est l’indice du matériau transparent formant la lentille.
On peut citer comme exemples où une des faces est dans un milieu différent :

• L’objet d’un microscope souvent plongé dans le liquide contenant les objets observés,
• Le cristallin de l’œil.

Notations et symboles
Dans la représentation d’une lentille mince, on confond les sommets S1 et S2 en un point unique définissant le centre optique O de la lentille.
Dans la suite de ce chapitre, on ne s’intéresse qu’aux lentilles minces dans les conditions de Gauss.

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2- Construction géométrique ; relations de conjugaison

Notations

Soit A un point objet dont l’image par la lentille est A’. On note :

• P la distance algébrique centre optique – objet
• P’ la distance algébrique centre optique – image

Pour les foyers :
OF’ = f’ est la distance focale image
’OF = f est la distance focale objet

Pour une lentille mince : f = −f′
Une lentille convergente est caractérisée par f > 0, une lentille divergente par f < 0.

Construction de l’image (figure ci-dessous) :

1. Tout rayon passant par le centre optique n’est pas dévié ;
2. Tout rayon incident passant par f émerge parallèle à l’axe optique ;
3. Tout rayon incident parallèle à l’axe optique émerge en passant par F’.

La construction de deux de ces trois rayons pour un point B suffit à construire l’image A’B’.

Formules Relations de conjugaison

Formules de conjugaison de Descartes

1/P′ − 1/p = 1/f′ = −1/f = V
V définit la vergence de la lentille et se mesure en dioptrie (symbole δ avec 1 δ = 1 m^-1).

Formule de conjugaison de Newton

Grandissement : γ = A′B′ / AB = p′ / p
Remarque : il s’agit d’un grandissement transversal (il est possible de définir un grandissement longitudinal).

Les démonstrations (géométriques) de ces relations sont données en annexe.
La vergence d’une lentille mince est donnée en fonction des rayons de courbure (algébriques) de chaque face et de l’indice du matériau par :
V = 1/f′ = (n − 1)(1/R1 + 1/R2)

Quelques notions sur les doublés

Un doublé, association de deux lentilles, constitue une des associations les plus simples entre systèmes.

Cas général

Les foyers sont toujours définis de manière identique, mais il n’existe plus de centre optique ! En conséquence, foyers et distances focales doivent être définis différemment (Hors programme).

Lentilles minces accolées

Si e << f1′ + f2′, on utilise la relation simplifiée
V = 1/f′ = 1/f1′ + 1/f2′ (lentilles parfaitement accolées).
Conséquences : en TP, le système disponible pour associer des lentilles ne permet pas de les accoler parfaitement (e = 1 cm). Généralement, la relation simplifiée est valable, mais il faut être prudent lorsque l’on accole une lentille convergente et une lentille divergente pour lesquelles la somme f1′ + f2′ peut être du même ordre de grandeur que e.

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L’œil

Structure de l’œil

a- Présentation
L’œil humain est une sphère d’environ 12 mm de rayon. La figure ci-contre représente une coupe de l’œil humain : les deux organes principaux sont le cristallin (sorte de lentille biconvexe) qui forme l’image de l’objet examiné et la rétine qui constitue la couche sensible à la lumière.
Les cellules sensibles, cônes (vision diurne en couleur) et bâtonnets (vision nocturne en noir et blanc), sont situées sur la rétine. Quand une de ces cellules reçoit de la lumière, un signal électrique est transmis au cerveau par l’intermédiaire du nerf optique constitué d’environ un million de fibres.
Le diamètre de la pupille varie selon l’intensité de la lumière reçue par l’œil (de 2 à 8 mm).
La sensibilité de l’œil s’est adaptée au spectre solaire : le maximum de sensibilité est ainsi pour le jaune (figure ci-contre).

[Schéma: Structure de l’œil]

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Pour les foyers

OF’ = f’ et OF = f est la distance focale image et la distance focale objet, respectivement. Pour une lentille mince : f = − f’.

[Schéma: Construction de l’image par lentille]

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Remarque

On se restreint ici aux lentilles où les deux faces, entrée et sortie, sont dans l’air, n est l’indice du matériau transparent formant la lentille. On peut citer comme exemples où une des faces est dans un milieu différent :

• L’objet d’un microscope souvent plongé dans le liquide contenant les objets observés,
• Le cristallin de l’œil.

Notations et symboles
Dans la représentation d’une lentille mince, on confond les sommets S1 et S2 en un point unique définissant le centre optique O de la lentille.

Dans la suite de ce chapitre, on ne s’intéresse qu’aux lentilles minces dans les conditions de Gauss.

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Notations et symboles (suite)

Soit A un point objet dont l’image par la lentille est A’. On note :
P la distance algébrique centre optique – objet • P’ la distance algébrique centre optique – image
Pour les foyers : OF’ = f’ est la distance focale image ; ’OF = f est la distance focale objet
Pour une lentille mince : f = −f′
Une lentille convergente est caractérisée par f > 0, une lentille divergente par f < 0.

Construction de l’image (figure ci-dessous) :

1. Tout rayon passant par le centre optique n’est pas dévié ;
2. Tout rayon incident passant par f émerge parallèle à l’axe optique ;
3. Tout rayon incident parallèle à l’axe optique émerge en passant par F’.

La construction de deux de ces trois rayons pour un point B suffit à construire l’image A’B’.

Formules Conjugaison
Formules de conjugaison de Descartes
1/P′ − 1/p = 1/f′ = −1/f = V

V définit la vergence de la lentille et se mesure en dioptrie (symbole δ avec 1 δ = 1 m^-1).

Formule de conjugaison de Newton
Grandissement : γ = A′B′ / AB = p′ / p

Remarque : il s’agit d’un grandissement transversal (il est possible de définir un grandissement longitudinal).
Les démonstrations (géométriques) de ces relations sont données en annexe.
La vergence d’une lentille mince est donnée en fonction des rayons de courbure (algébriques) de chaque face et de l’indice du matériau par :
V = 1/f′ = (n − 1)(1/R1 + 1/R2)

Quelques notions sur les doublés (suite)

Un doublé, association de deux lentilles, constitue une des associations les plus simples entre systèmes.

Cas général (suite)

Les foyers sont toujours définis de manière identique, mais il n’existe plus de centre optique ! En conséquence, foyers et distances focales doivent être définis différemment (Hors programme).

Lentilles minces accolées (suite)

Si e << f1′ + f2′, on utilise la relation simplifiée V = 1/f′ = 1/f1′ + 1/f2′ (lentilles parfaitement accolées).
Conséquences : en TP, le système disponible pour associer des lentilles ne permet pas de les accoler parfaitement (e = 1 cm). Généralement, la relation simplifiée est valable, mais il faut être prudent lorsque l’on accole une lentille convergente et une lentille divergente pour lesquelles la somme f1′ + f2′ peut être du même ordre de grandeur que e.

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Cas général (suite)

Les foyers sont toujours définis de manière identique, mais il n’existe plus de centre optique ! En conséquence, foyers et distances focales doivent être définis différemment (Hors programme).

L’œil (suite)
[Schéma: Cas général - Lentilles minces accolées]

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[Schéma: lentilles convergentes et divergentes]

b- Fonctionnement de l’œil normal

Les muscles du cristallin sont capables de modifier la courbure du cristallin et donc de modifier sa distance focale. Ils permettent ainsi à l’œil de voir plus ou moins loin : le cristallin est doué d’un pouvoir d’accommodation.

Quand les muscles du cristallin sont relâchés (œil au repos), la distance focale du cristallin est égale à la distance cristallin – rétine : l’image d’un objet situé à l’infini se fait sur la rétine. Pour observer un objet plus rapproché, l’œil accommode en contractant le cristallin pour réduire sa distance focale, de manière à avoir toujours l’image de l’objet sur la rétine.

• On appelle punctum proximum (PP), le point le plus proche de l’œil, où peut se trouver un objet pour être vu par l’œil. Ce dernier est alors au maximum d’accommodation.
• On appelle punctum remotum (PR), le point le plus éloigné de l’œil, où doit se trouver un objet pour être vu par l’œil. Le PR d’un œil normal (œil emmétrope) est à l’infini, l’œil étant au repos.

Les caractéristiques moyennes de l’œil emmétrope sont les suivantes :

• Au repos : VPR = 60 δ

• Au maximum d’accommodation : VPP = 64 δ à 65δ donnant un PP entre 25 cm et 15 cm.
  L’amplitude d’accommodation est donc de 4 à 5 δ.

• [Schéma: Fonctionnement de l’œil normal – schéma au repos et accommodant]

c- Œil comportant des défauts

Œil myope

Un œil myope est un œil trop convergent : au repos, un œil myope ne voit jamais net un objet situé à l’infini, son image se formant en avant de la rétine.

Œil hypermétrope

Inversement, un œil hypermétrope ne converge pas assez : l’image d’un objet à l’infini se fait derrière la rétine lorsqu’il est au repos. Il doit accommoder pour voir net un objet à l’infini.

Presbytie

Avec l’âge, la presbytie se traduit par une forte chute de l’amplitude d’accommodation chute qui peut pratiquement s’annuler (environ 1 en moyenne à 60 ans).
Pour conjuguer vision de loin et vision de près, il est souvent nécessaire de porter des verres correcteurs à double foyer.

Instruments d’optique

La plupart des instruments d’optique servent à grossir des objets (loupe, jumelles, lunettes astronomiques, télescope, microscope…).
Conçus directement pour la vision humaine, ils doivent pouvoir être utilisés longtemps sans fatiguer l’œil, c’est-à-dire sans que celui-ci accommode : ils doivent donc donner de l’objet une image à l’infini. En pratique, un réglage permet leur utilisation par un œil non emmétrope.

• [Schéma: Oeil myope et hypermétrope – correction]

ANNEXE : Démonstration des relations de conjugaison

Formules de conjugaison de Descartes

Triangles OAB et OA’B’ et Triangles F’OK et F’A’B’ (attention au signes !). On décompose

Formule de conjugaison de Newton

Résultat direct à partir des triangles de sommets F et F’

B′A′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗

FO⃗⃗⃗⃗⃗
AF⃗⃗⃗⃗⃗

F′A′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OF⃗⃗⃗⃗⃗
===>FA⃗⃗⃗⃗⃗ * FA′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OF⃗⃗⃗⃗⃗ *O′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗F = - f^2

On retrouve Descartes en décomposant : FA⃗⃗⃗⃗⃗ = FO⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗OA⃗⃗⃗⃗ et F′A′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = F′O′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗O′A⃗⃗⃗⃗⃗
′

Conclusion : ces deux démonstrations sont de nature purement géométrique !

• [Schéma: démonstration des relations de conjugaison]