🧠 Système Binaire : Fondamentaux et Conversions

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🔌 Pourquoi le binaire ?

• Les circuits électriques n’ont que 2 états :
  • 0 = Pas de courant
  • 1 = Courant présent
• Base de l’informatique : Tout est codé en 0 et 1.

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⚙️ Combien d’états possibles avec N bits ?

• 1 bit → 2¹ = 2 états (0 ou 1)
• 2 bits → 2² = 4 états (00, 01, 10, 11)
• N bits → 2ᴺ états (formule générale)

💡 Exemple :

• 3 bits → 2³ = 8 états (000 à 111)

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🔢 Conversion Décimal → Binaire

Méthode : Divisions successives par 2

1. Diviser le nombre décimal par 2.
2. Noter le reste (0 ou 1).
3. Répéter avec le quotient jusqu’à obtenir 0.
4. Lire les restes à l’envers pour obtenir le binaire.

⚠️ Exemple : Convertir 49₁₀ en binaire

→ 49₁₀ = 110001₂

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🔄 Conversion Binaire → Décimal

Méthode : Puissances de 2

• Chaque bit est multiplié par 2ⁿ, où n = position du bit (en partant de 0 à droite).
• Additionner les résultats.

⚠️ Exemple : Convertir 10110₂ en décimal

→ 10110₂ = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22₁₀

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📊 Tableau des nombres 0 à 10 en binaire

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➕ Addition Binaire

Règles de base

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 10 (0 et retenue de 1)
• 1 + 1 + 1 = 11 (1 et retenue de 1)

⚠️ Exemple : 10110₂ (22) + 11011₂ (27)

  10110
+ 11011
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 110001 (49)

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✖️ Multiplication Binaire

Méthode : Décalage et addition

1. Multiplier le multiplicande par chaque bit du multiplicateur (0 ou 1).
2. Décaler les résultats partiels vers la gauche (comme en décimal).
3. Additionner les produits partiels.

⚠️ Exemple : 10110₂ (22) × 1111₂ (15)

      10110
    ×  1111
    -------
      10110   (10110 × 1)
     10110    (10110 × 1, décalé de 1)
    10110     (10110 × 1, décalé de 2)
+ 10110      (10110 × 1, décalé de 3)
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 110010010 (330)

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🔑 Ancrage Mémoriel

• Le binaire repose sur 2 états (0/1) et 2ᴺ combinaisons pour N bits.
• Conversion décimal → binaire : Divisions par 2 et lecture des restes à l’envers.
• Conversion binaire → décimal : Multiplication par 2ⁿ (n = position du bit).
• Addition binaire : Retenues comme en décimal, mais avec 1 + 1 = 10.
• Multiplication binaire : Décalages et additions successives.