Cours sur: Système Binaire
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Document 1 :
Système Binaire
Pourquoi le binaire ?
Un ordinateur ou téléphone est un ensemble de circuits électriques. Un circuit ne peut que laisser passer le courant ou non — deux états binaires (0 ou 1). Le système binaire permet donc de coder l'information dans ces machines.
Ordinateur à 1 bit
Le plus simple ordinateur a un seul circuit : deux états possibles, 0 ou 1. C’est un ordinateur à 1 bit.
Ordinateur à 2 bits
Avec deux circuits, on a 2×2 = 4 états possibles : 00 (décimal 0), 01 (1), 10 (2), 11 (3). Soit les quatre premiers symboles décimaux.
Ordinateur à N bits
Avec 3 circuits : 2³ = 8 états. Avec N circuits : 2ᴺ états.
Transcription des 10 symboles en binaire
On ne dispose que de 0 et 1. En décimal, après 9 on passe à deux chiffres (10). En binaire, même principe : après avoir épuisé les combinaisons sur un chiffre (0, 1), on passe à deux chiffres : 10 (2), 11 (3). Puis à trois chiffres : 100 (4), 101 (5), 110 (6), 111 (7). Puis quatre chiffres : 1000 (8), 1001 (9), 1010 (10).
| Décimal | Binaire |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 10 |
| 3 | 11 |
| 4 | 100 |
| 5 | 101 |
| 6 | 110 |
| 7 | 111 |
| 8 | 1000 |
| 9 | 1001 |
| 10 | 1010 |
Conversion Binaire → Décimal
Un nombre en base 2 se décompose comme en base 10 : chaque chiffre est multiplié par une puissance de 2. Exemple : 10110₍₂₎ = 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22₁₀.
Puissances de 2 utiles : 2⁰=1, 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32, 2⁶=64, 2⁷=128, 2⁸=256, 2⁹=512, 2¹⁰=1024.
Conversion Décimal → Binaire
Pour convertir 49₁₀ en binaire, on divise successivement par 2 en notant les restes (0 ou 1), puis on lit les restes à l’envers :
- 49 ÷ 2 = 24 reste 1
- 24 ÷ 2 = 12 reste 0
- 12 ÷ 2 = 6 reste 0
- 6 ÷ 2 = 3 reste 0
- 3 ÷ 2 = 1 reste 1
- 1 ÷ 2 = 0 reste 1 (arrêt quotient nul)
Soit 110001₍₂₎.
Addition en binaire
Même principe qu’en décimal. Exemple : 10110₍₂₎ (22₁₀) + 11011₍₂₎ (27₁₀) = 110001₍₂₎ (49₁₀).
Pose : addition colonne par colonne, retenue quand 1+1 = 10₍₂₎ (0 retient 1), 1+1+1 = 11₍₂₎ (1 retient 1), etc.
Multiplication en binaire
Même principe qu’en décimal : on multiplie le multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur (0 ou 1) en décalant, puis on additionne les produits partiels. Exemple : 10110₍₂₎ (22₁₀) × 1111₍₂₎ (15₁₀) = 110010010₍₂₎ (330₁₀). Les retenues peuvent se décaler sur plusieurs rangs.
Pour vérifier, on peut utiliser un outil de conversion binaire en ligne.
Système Binaire : les circuits électriques n'ont que deux états (courant/pas), soit 0 ou 1. Un ordinateur à 1 bit a 2 états, à 2 bits 2²=4 (00→0, 01→1, 10→2, 11→3), à N bits 2ᴺ états. Les nombres décimaux 0–10 se codent en binaire comme suit : 0→0, 1→1, 2→10, 3→11, 4→100, 5→101, 6→110, 7→111, 8→1000, 9→1001, 10→1010. Conversion binaire→décimal : chaque bit est multiplié par 2ⁿ (n position depuis la droite). Exemple : 10110₂ = 1×16 + 0×8 + 1×4 + 1×2 + 0×1 = 22₁₀. Conversion décimal→binaire : divisions successives par 2, restes lus à l'envers. Exemple : 49₁₀ → 49÷2=24 r1, 24÷2=12 r0, 12÷2=6 r0, 6÷2=3 r0, 3÷2=1 r1, 1÷2=0 r1 → 110001₂. Addition binaire : colonne par colonne avec retenue (1+1 = 10₂, 1+1+1 = 11₂). Exemple : 10110₂ (22) + 11011₂ (27) = 110001₂ (49). Multiplication : multiplier le multiplicande par chaque bit du multiplicateur (0 ou 1) en décalant, puis additionner les produits partiels. Exemple : 10110₂ (22) × 1111₂ (15) = 110010010₂ (330).