Cours sur Système Binaire

Appartient au cours : Système Binaire

Système binaire

Introduction

Un ordinateur ou un téléphone est un ensemble de circuits électriques. Un circuit ne peut que laisser passer le courant ou non : il n'existe que deux états binaires, notés 0 ou 1. Le système binaire permet donc de coder l'information dans ces machines.

Objectifs d'apprentissage

Expliquer pourquoi les machines utilisent le système binaire.
Calculer le nombre d'états possibles d'un ordinateur à N bits.
Convertir un nombre binaire en décimal et inversement.
Effectuer une addition et une multiplication en binaire.

Pourquoi le binaire ?

Concept clé : un circuit électrique ne connaît que deux états — courant qui passe ou non — ce qui impose un codage binaire de l'information.

Un ordinateur ou téléphone est un ensemble de circuits électriques. Chaque circuit ne peut que laisser passer le courant ou non, soit deux états binaires (0 ou 1). Le système binaire est donc le moyen de coder l'information dans ces machines.

Ordinateur à 1 bit

Le plus simple ordinateur possède un seul circuit : deux états possibles, 0 ou 1. C'est un ordinateur à 1 bit.

Ordinateur à 2 bits

Avec deux circuits, on obtient $2 \times 2 = 4$ états possibles : 00 (décimal 0), 01 (1), 10 (2), 11 (3). Soit les quatre premiers symboles décimaux.

Ordinateur à N bits

Avec 3 circuits : $2^3 = 8$ états. Avec N circuits : $2^N$ états.

Transcription des symboles en binaire

Concept clé : en binaire, on ne dispose que de 0 et 1 ; après avoir épuisé les combinaisons sur un chiffre, on passe au chiffre suivant, comme en décimal.

En décimal, après 9 on passe à deux chiffres (10). En binaire, le principe est le même : après avoir épuisé les combinaisons sur un chiffre (0, 1), on passe à deux chiffres : 10 (2), 11 (3). Puis à trois chiffres : 100 (4), 101 (5), 110 (6), 111 (7). Puis quatre chiffres : 1000 (8), 1001 (9), 1010 (10).

Décimal	Binaire
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110
7	111
8	1000
9	1001
10	1010

Conversion binaire → décimal

Concept clé : un nombre en base 2 se décompose comme en base 10 : chaque chiffre est multiplié par une puissance de 2.

Exemple : $10110_{(2)} = 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22_{(10)}$ .

Puissances de 2 utiles : $2^0=1$ , $2^1=2$ , $2^2=4$ , $2^3=8$ , $2^4=16$ , $2^5=32$ , $2^6=64$ , $2^7=128$ , $2^8=256$ , $2^9=512$ , $2^{10}=1024$ .

Conversion décimal → binaire

Concept clé : on divise successivement par 2 en notant les restes (0 ou 1), puis on lit les restes à l'envers.

Pour convertir $49_{(10)}$ en binaire :

49 ÷ 2 = 24 reste 1
24 ÷ 2 = 12 reste 0
12 ÷ 2 = 6 reste 0
6 ÷ 2 = 3 reste 0
3 ÷ 2 = 1 reste 1
1 ÷ 2 = 0 reste 1 (arrêt quotient nul)

Soit $110001_{(2)}$ .

flowchart TD
    A["49 ÷ 2 = 24 reste 1"] --> B["24 ÷ 2 = 12 reste 0"]
    B --> C["12 ÷ 2 = 6 reste 0"]
    C --> D["6 ÷ 2 = 3 reste 0"]
    D --> E["3 ÷ 2 = 1 reste 1"]
    E --> F["1 ÷ 2 = 0 reste 1 (arrêt)"]
    F --> G["Lecture des restes à l'envers : 110001"]

Addition en binaire

Concept clé : l'addition binaire suit le même principe que l'addition décimale, colonne par colonne, avec retenue.

Exemple : $10110_{(2)}$ (22₁₀) + $11011_{(2)}$ (27₁₀) = $110001_{(2)}$ (49₁₀).

On pose l'addition colonne par colonne. La retenue apparaît quand $1+1 = 10_{(2)}$ (0 retient 1), $1+1+1 = 11_{(2)}$ (1 retient 1), etc.

Multiplication en binaire

Concept clé : on multiplie le multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur (0 ou 1) en décalant, puis on additionne les produits partiels.

Exemple : $10110_{(2)}$ (22₁₀) × $1111_{(2)}$ (15₁₀) = $110010010_{(2)}$ (330₁₀). Les retenues peuvent se décaler sur plusieurs rangs.

Pour vérifier, on peut utiliser un outil de conversion binaire en ligne.

Applications pratiques

Les méthodes de conversion et les opérations binaires s'appliquent directement au codage de l'information dans les machines :

Compter les états possibles d'une machine à N bits avec $2^N$ .
Convertir un nombre binaire en décimal par décomposition en puissances de 2.
Convertir un nombre décimal en binaire par divisions successives par 2.
Additionner et multiplier des nombres binaires comme en décimal, avec retenues.
Vérifier ses résultats à l'aide d'un outil de conversion binaire en ligne.

Synthèse

Points clés à retenir

Un circuit électrique n'a que deux états (0 ou 1) : d'où le système binaire.
Un ordinateur à N bits possède $2^N$ états possibles.
Binaire → décimal : décomposition en puissances de 2 ( $10110_{(2)} = 22_{(10)}$ ).
Décimal → binaire : divisions successives par 2, restes lus à l'envers ( $49_{(10)} = 110001_{(2)}$ ).
Addition et multiplication en binaire suivent le même principe qu'en décimal, avec retenues.

Résumé

Le système binaire code l'information dans les machines car un circuit électrique ne connaît que deux états. Avec N circuits, on obtient $2^N$ états. Les nombres binaires se convertissent en décimal par décomposition en puissances de 2, et en binaire par divisions successives par 2. L'addition et la multiplication binaires reprennent les principes décimaux, avec gestion des retenues.

Auto-évaluation

Combien d'états possibles possède un ordinateur à 3 circuits ?
Réponse : 8 états — car le cours indique qu'avec 3 circuits, $2^3 = 8$ états.
Quelle est la valeur décimale de $10110_{(2)}$ ?
Réponse : 22₁₀ — car $1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22$ .
Comment convertir $49_{(10)}$ en binaire ?
Réponse : par divisions successives par 2 en notant les restes, lus à l'envers, ce qui donne $110001_{(2)}$ — car c'est la méthode décrite dans le cours, avec arrêt lorsque le quotient devient nul.
Quel est le résultat de $10110_{(2)} + 11011_{(2)}$ ?
Réponse : $110001_{(2)}$ (49₁₀) — car l'addition binaire se pose colonne par colonne avec retenue quand $1+1 = 10_{(2)}$ , comme le montre l'exemple du cours.